предел подпоследовательности (запись с помощью символов)

[gefest_md]

Дана последовательность $\left\{x_n\right\}.$ Как записать с помощью логических символов определение предела подпоследовательности

$$\lim_{k\to\infty}x_{n_{k}}=a$$

Сомнительный вариант такой

$$\forall\varepsilon>0\exists k_\varepsilon\forall k\left(k>k_\varepsilon\to|x_{n_{k}}-a|<\varepsilon\right)$$

[Chernoknizhnik]

Только это не определение предела, а утверждение о том, что а - предел подпоследовательности. А так, всё верно - просто нумерация идет по k.

[bot]

А чем он сомнительный?

[epros]

bot в сообщении #632748 писал(а):

А чем он сомнительный?

У меня два предположения:
1) Заменить $n_k$ на $k$.
2) Заменить $\forall \varepsilon > 0 ~ \dots$ на $\forall \varepsilon ~ (\varepsilon > 0 \to \dots)$

Но второе, вроде, не так уж и обязательно.

[gefest_md]

Нашёл в своих тетрадях такую запись: $\forall\varepsilon>0\exists k_\varepsilon\forall k\left(n_k>n_{k_\varepsilon}\to|x_{n_{k}}-a|<\varepsilon\right)$

[bot]

Вообще-то подпоследовательность строится так: берётся возрастающая последовательность $n_k (k\in \mathbb N)$ и рассматривается последовательность с этими номерами - это по сути композиция двух функций $k\rightarrow n(k)=n_k$ и $n\rightarrow x(n)=x_n$ в результате которой получаем функцию $k\rightarrow y(k)=x(n(k))=x_{n_k}$.

Надо записать, что означает равенство $\lim\limits_{k\to \infty}y(k)=a$. В точном соответствии с определением предела и пишем то, что Вы написали в стартовом сообщении.
Что касается неравенства $n_k>n_{k_{\varepsilon}}$ из Вашей старой тетради, то оно, конечно, равносильно неравенству $k>k_{\varepsilon}$ в силу монотонности последовательности $n_k$, но в данном контексте выглядит коряво.

[Chernoknizhnik]

Почитайте книжки по общей топологии (Энгелькинга или Александрова) и Вы забудете о проблемах с понятиями сходимости навсегда!

[larkova_alina]

$(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a):=$
$:=(\forall \varepsilon (\varepsilon \in \mathbb{R} \wedge \varepsilon>0 \Rightarrow(\exists N(N\in \mathbb{N}\wedge (\forall n(n\in \mathbb{N} \wedge n \geqslant N \Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon)))))).$
Самое развернутое определение.

[Chernoknizhnik]

А зачем так сложно?, мне кажется, это не просто самое развернутое определение, а, пожалуй, самое непонятное и загроможденное.

[larkova_alina]

Chernoknizhnik в сообщении #636610 писал(а):

А зачем так сложно?, мне кажется, это не просто самое развернутое определение, а, пожалуй, самое непонятное и загроможденное.

Любое другое определение записано с помощью сокращений.

[Chernoknizhnik]

Tакой формализм уж точно только запутает и запугает (первокурсника, например). А насчет любого другого определения не соглашусь - весьма общее, пожалуй, наиболее общее определение предела - любого - хоть последовательности, хоть функции, хоть интегральных сумм более сложно с точки зрения конструкции, но весьма просто для понимания (это я про предел вдоль фильтра) не сокращается до той строки, которую Вы написали, в силу большой общности.