шар

[anik]

По моему мнению, вопрос в задаче поставлен некорректно. Если скачок будет, то он будет при любом значении угла $\alpha$.
Будет или нет скачок, зависит не от значения угла $\alpha$, а от значения начальной скорости $v_0$. Если начальная скорость такова, что кривизна параболы в вершине меньше кривизны шара $1/r$, то скачок будет при любом значении угла $\alpha$, кроме $\alpha=0$.

[Oleg Zubelevich]

у меня с ответом сошлось, главное правильно понять условие при котором шар отлетает

[anik]

Oleg Zubelevich в сообщении #636353 писал(а):

у меня с ответом сошлось,

А со смыслом задачи у Вас сошлось?

[Oleg Zubelevich]

Введем декартову систему координат XY с началом в точке $B$. Ось $Y$ смотрит вертикально вверх. Пусть шар поворачивается вокруг точки $B$. Через $\psi$ обозначим угол откладываемый от оси Y до прямой $BC$.
Соответственно центр шара описывает дугу окружности

$$X=r\sin\psi,\quad Y=r\cos \psi,\quad 0\le \psi\le \alpha.$$

Предположим, что в точке $\psi$ при скорости центра шара равной по модулю $v$ происходит отрыв шара от поверхности. Это значит, что центр шара начинает двигаться по параболе

$$x(t)=r\sin\psi+v\cos\psi t,\quad y(t)=r\cos\psi-v\sin\psi t-gt^2/2.$$

При этом радиус кривизны параболы в точке отрыва должн быть больше $r$ - это и есть условие отрыва.
Легко посчитать, что кривизна параболы при $t=0$ равна $k=\frac{g\cos\psi}{v^2}$
Таким образом условие того, что шар не отлетит в течение всего поворота имеет вид $rg\cos\psi\ge v^2,\quad 0\le \psi\le \alpha$.
$v$ находится из интеграла энергии

$$ \frac{1}{2}J\Big(\frac{v_0}{r}\Big)^2+mgr(1-\cos\psi)=\frac{1}{2}J\Big(\frac{v}{r}\Big)^2,\quad J=mr^2+2/5mr^2.$$

откуда

$$\cos\psi\ge\frac{Jv_0^2+2r^3mg}{Jrg+2r^3mg},\quad \cos\alpha_{max}=\frac{Jv_0^2+2r^3mg}{Jrg+2r^3mg}.$$

[anik]

Oleg Zubelevich в сообщении #636404 писал(а):

Через $\psi$ обозначим угол откладываемый от оси Y до прямой $BC$

Oleg Zubelevich в сообщении #636404 писал(а):

Предположим, что в точке $\psi$ при скорости центра шара равной по модулю $v$ происходит отрыв шара от поверхности.

Что такое точка $\psi$?
С какой стати кривизна параболы при $t=0$ зависит от угла $\psi$?

[dovlato]

Наконец и я понял. Баланс:

$$\left(m+\frac{J}{r^2}\right)\frac{v_0^2}{2}+mgr(1-\cos\alpha)=\left(m+\frac{J}{r^2}\right)\frac{v^2}{2}$$

Пусть $\frac{J}{mr^2}=a$ $(a=2/5)$. Тогда

$$\left(1+a\right)\frac{v_0^2}{2}+gr(1-\cos\alpha)=\left(1+a\right)\frac{v^2}{2}$$

Ergo,

$$\frac{v^2}{r}=\frac{v_0^2}{r}+\frac{2g}{1+a}(1+\cos\alpha)$$

But

$$\frac{v^2}{r}=g\cos\alpha$$

Then

$$\cos\alpha=\frac{2+(1+a)\frac{v^2_0}{rg}}{3+a}$$

Действительно, получаются идиотские 7, 10, и даже 17.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #636437 писал(а):

ut

$$\frac{v^2}{r}=g\cos\alpha$$

весь вопрос имхо в том, как трактовать это равенство. Если в терминах кривизн -- то это понятно, если в терминах реакций, то с какой стати? И всетаки Вы в своем решении рассматриваете только одно положение шара, то, что так делать правильно -- неочевидно имхо.

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #636438 писал(а):

dovlato в сообщении #636437 писал(а):

ut

$$\frac{v^2}{r}=g\cos\alpha$$

весь вопрос имхо в том, как трактовать это равенство. Если в терминах кривизн -- то это понятно, если в терминах реакций, то с какой стати? И всетаки Вы в своем решении рассматриваете только одно положение шара, то, что так делать правильно -- неочевидно имхо.

Не знаю.. мне так кажется.

[anik]

Вообще-то я был неправ, когда говорил, что нужно сравнивать кривизну параболы в её вершине (по которой движется ц.м. шара) с кривизной $1/r$, где $r$ - радиус шара.
См. рис.
С кривизной $1/r$ нужно сравнивать кривизну $K$ в точке $B$ огибающей семейства окружностей, центры которых лежат на соответствующей параболе, $ab$ - часть параболы. Вид этой параболы зависит от начальной скорости $v_0$ и от ускорения $g$, но не зависит от угла $\alpha$. Вид огибающей (и её кривизна) тоже не зависят от угла $\alpha$. От угла $\alpha$ зависит только отрезок, который пролетает шар над наклонной поверхностью. Чем меньше угол $\alpha$, тем короче этот отрезок. При $\alpha= 0$ отрыва не будет и не будет наклонной поверхности.

-- Сб окт 27, 2012 19:25:21 --

Опять я поспешил. Сейчас подумал, и решил, что имеет значение всё-таки кривизна параболы в вершине. А как думают участники форума?

[dovlato]

Я думаю, кривизну надо сравнивать с $1/r$. При точном равенстве реакция опоры нулевая.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #636554 писал(а):

Я думаю, кривизну надо сравнивать с $1/r$. При точном равенстве реакция опоры нулевая.

думаю, что это неверно, нормальная компонента к траектории центра наверное нулева, а касательная может и нет

[anik]

Всё-таки с $1/r$ надо сравнивать кривизну параболы по которой движется (или мог бы двигаться, если бы не мешала точка $B$) ц.м. шара. Действительно, при точном равенстве реакция опоры в точке $B$ нулевая.
Если кривизна параболы в верхней точке больше $1/r$, то ц.м. двигаться по такой параболе не сможет, т.к. ему мешает поверхность шара и шар вынужден вращаться вокруг точки $B$. Центр шара при этом описывает траекторию составленную из двух прямых, параллельных прямым $AB$ и $BC$ и скруглённых сопрягаемой с ними окружностью радиуса $r$.

-- Сб окт 27, 2012 23:15:49 --

Oleg Zubelevich в сообщении #636563 писал(а):

думаю, что это неверно, нормальная компонента к траектории центра наверное нулева, а касательная может и нет

Нормальная компонента реакции опоры в точке $B$ нулевая в самом начале поворота. Когда шар повернётся вокруг $B$ на некоторый угол (меньший чем $\alpha$), шар начнёт уже прижиматься к точке $B$. Здесь уже сила реакции опоры будет составлять некоторый угол к горизонтали. Её трудно подразделять на нормальную и касательную, т.к. вращение происходит вокруг точки. Скорее всего нужно рассматривать вертикальную и горизонтальную компоненты силы реакции опоры.

[anik]

Найдём максимальную скорость $v_0$ при которой отскока не будет. Для этого нужно найти кривизну параболы в вершине.
Параболу зададим системой параметрических уравнений: $x=v_0t$; $y=-1/2gt^2$.
Воспользуемся формулой для кривизны:

$$\frac{1}{r}=\frac{\dot x\ddot y-\dot y\ddot x}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}$$

Подставим в эту формулу выражения для производных, и при $t=0$, получим: $v_0=\sqrt{rg}$.

[dovlato]

Oleg Zubelevich в сообщении #636563 писал(а):

dovlato в сообщении #636554 писал(а):

Я думаю, кривизну надо сравнивать с $1/r$. При точном равенстве реакция опоры нулевая.

думаю, что это неверно, нормальная компонента к траектории центра наверное нулева, а касательная может и нет

Согласен. Из этого, кстати, следует, что формула в задачнике, строго говоря, неверна: с некоторого момента шар неизбежно начнёт скользить. Нарушится баланс энергии. Центр, думаю, при этом будет двигаться с большей скоростью, чем в отсутствие скольжения. И следовательно, шар станет отрываться чуть пораньше, т.е. при меньшем угле. Конечно, эффекты исчезающе малые. Но ведь и данная задача - игра в бисер. Автор задачника нарушил собственные правила. Невольно..
Кстати, если бы это был барабан со сматывающейся невесомой нитью, которая не давала бы ему скользить - вот тогда всё было бы правильно.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #636755 писал(а):

Но ведь и данная задача - игра в бисер.

Вот именно, просто такое условие: шар не скользит, а как эту связь реализовать -- второй вопрос. Ну, кстати, я там еще одну задачу вывесил и в ней автор именно этот эффект с началом скольжения уже разбирает.