2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 10:16 
Заблокирован


30/07/09

2208
По моему мнению, вопрос в задаче поставлен некорректно. Если скачок будет, то он будет при любом значении угла $\alpha$.
Будет или нет скачок, зависит не от значения угла $\alpha$, а от значения начальной скорости $v_0$. Если начальная скорость такова, что кривизна параболы в вершине меньше кривизны шара $1/r$, то скачок будет при любом значении угла $\alpha$, кроме $\alpha=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 10:40 


10/02/11
6786
у меня с ответом сошлось, главное правильно понять условие при котором шар отлетает

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 10:44 
Заблокирован


30/07/09

2208
Oleg Zubelevich в сообщении #636353 писал(а):
у меня с ответом сошлось,
А со смыслом задачи у Вас сошлось?

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 12:26 


10/02/11
6786
Введем декартову систему координат XY с началом в точке $B$. Ось $Y$ смотрит вертикально вверх. Пусть шар поворачивается вокруг точки $B$. Через $\psi$ обозначим угол откладываемый от оси Y до прямой $BC$.
Соответственно центр шара описывает дугу окружности $$X=r\sin\psi,\quad Y=r\cos \psi,\quad 0\le \psi\le \alpha.$$
Предположим, что в точке $\psi$ при скорости центра шара равной по модулю $v$ происходит отрыв шара от поверхности. Это значит, что центр шара начинает двигаться по параболе
$$x(t)=r\sin\psi+v\cos\psi t,\quad y(t)=r\cos\psi-v\sin\psi t-gt^2/2.$$ При этом радиус кривизны параболы в точке отрыва должн быть больше $r$ - это и есть условие отрыва.
Легко посчитать, что кривизна параболы при $t=0$ равна $k=\frac{g\cos\psi}{v^2}$
Таким образом условие того, что шар не отлетит в течение всего поворота имеет вид $rg\cos\psi\ge v^2,\quad 0\le \psi\le \alpha$.
$v$ находится из интеграла энергии
$$
\frac{1}{2}J\Big(\frac{v_0}{r}\Big)^2+mgr(1-\cos\psi)=\frac{1}{2}J\Big(\frac{v}{r}\Big)^2,\quad J=mr^2+2/5mr^2.$$
откуда
$$\cos\psi\ge\frac{Jv_0^2+2r^3mg}{Jrg+2r^3mg},\quad \cos\alpha_{max}=\frac{Jv_0^2+2r^3mg}{Jrg+2r^3mg}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 13:36 
Заблокирован


30/07/09

2208
Oleg Zubelevich в сообщении #636404 писал(а):
Через $\psi$ обозначим угол откладываемый от оси Y до прямой $BC$
Oleg Zubelevich в сообщении #636404 писал(а):
Предположим, что в точке $\psi$ при скорости центра шара равной по модулю $v$ происходит отрыв шара от поверхности.
Что такое точка $\psi$?
С какой стати кривизна параболы при $t=0$ зависит от угла $\psi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 13:39 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Наконец и я понял. Баланс:
$$\left(m+\frac{J}{r^2}\right)\frac{v_0^2}{2}+mgr(1-\cos\alpha)=\left(m+\frac{J}{r^2}\right)\frac{v^2}{2}$$
Пусть $\frac{J}{mr^2}=a$ $(a=2/5)$. Тогда
$$\left(1+a\right)\frac{v_0^2}{2}+gr(1-\cos\alpha)=\left(1+a\right)\frac{v^2}{2}$$
Ergo, $$\frac{v^2}{r}=\frac{v_0^2}{r}+\frac{2g}{1+a}(1+\cos\alpha)$$
But
$$\frac{v^2}{r}=g\cos\alpha$$
Then $$\cos\alpha=\frac{2+(1+a)\frac{v^2_0}{rg}}{3+a}$$
Действительно, получаются идиотские 7, 10, и даже 17.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 13:47 


10/02/11
6786
dovlato в сообщении #636437 писал(а):
ut
$$\frac{v^2}{r}=g\cos\alpha$$

весь вопрос имхо в том, как трактовать это равенство. Если в терминах кривизн -- то это понятно, если в терминах реакций, то с какой стати? И всетаки Вы в своем решении рассматриваете только одно положение шара, то, что так делать правильно -- неочевидно имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 13:51 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Oleg Zubelevich в сообщении #636438 писал(а):
dovlato в сообщении #636437 писал(а):
ut
$$\frac{v^2}{r}=g\cos\alpha$$

весь вопрос имхо в том, как трактовать это равенство. Если в терминах кривизн -- то это понятно, если в терминах реакций, то с какой стати? И всетаки Вы в своем решении рассматриваете только одно положение шара, то, что так делать правильно -- неочевидно имхо.

Не знаю.. мне так кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 15:18 
Заблокирован


30/07/09

2208
Вообще-то я был неправ, когда говорил, что нужно сравнивать кривизну параболы в её вершине (по которой движется ц.м. шара) с кривизной $1/r$, где $r$ - радиус шара.
См. рис.Изображение
С кривизной $1/r$ нужно сравнивать кривизну $K$ в точке $B$ огибающей семейства окружностей, центры которых лежат на соответствующей параболе, $ab$ - часть параболы. Вид этой параболы зависит от начальной скорости $v_0$ и от ускорения $g$, но не зависит от угла $\alpha$. Вид огибающей (и её кривизна) тоже не зависят от угла $\alpha$. От угла $\alpha$ зависит только отрезок, который пролетает шар над наклонной поверхностью. Чем меньше угол $\alpha$, тем короче этот отрезок. При $\alpha= 0$ отрыва не будет и не будет наклонной поверхности.

-- Сб окт 27, 2012 19:25:21 --

Опять я поспешил. Сейчас подумал, и решил, что имеет значение всё-таки кривизна параболы в вершине. А как думают участники форума?

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 18:38 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я думаю, кривизну надо сравнивать с $1/r$. При точном равенстве реакция опоры нулевая.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 18:49 


10/02/11
6786
dovlato в сообщении #636554 писал(а):
Я думаю, кривизну надо сравнивать с $1/r$. При точном равенстве реакция опоры нулевая.

думаю, что это неверно, нормальная компонента к траектории центра наверное нулева, а касательная может и нет

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение27.10.2012, 18:54 
Заблокирован


30/07/09

2208
Всё-таки с $1/r$ надо сравнивать кривизну параболы по которой движется (или мог бы двигаться, если бы не мешала точка $B$) ц.м. шара. Действительно, при точном равенстве реакция опоры в точке $B$ нулевая.
Если кривизна параболы в верхней точке больше $1/r$, то ц.м. двигаться по такой параболе не сможет, т.к. ему мешает поверхность шара и шар вынужден вращаться вокруг точки $B$. Центр шара при этом описывает траекторию составленную из двух прямых, параллельных прямым $AB$ и $BC$ и скруглённых сопрягаемой с ними окружностью радиуса $r$.

-- Сб окт 27, 2012 23:15:49 --

Oleg Zubelevich в сообщении #636563 писал(а):
думаю, что это неверно, нормальная компонента к траектории центра наверное нулева, а касательная может и нет
Нормальная компонента реакции опоры в точке $B$ нулевая в самом начале поворота. Когда шар повернётся вокруг $B$ на некоторый угол (меньший чем $\alpha$), шар начнёт уже прижиматься к точке $B$. Здесь уже сила реакции опоры будет составлять некоторый угол к горизонтали. Её трудно подразделять на нормальную и касательную, т.к. вращение происходит вокруг точки. Скорее всего нужно рассматривать вертикальную и горизонтальную компоненты силы реакции опоры.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение28.10.2012, 07:26 
Заблокирован


30/07/09

2208
Найдём максимальную скорость $v_0$ при которой отскока не будет. Для этого нужно найти кривизну параболы в вершине.
Параболу зададим системой параметрических уравнений: $x=v_0t$; $y=-1/2gt^2$.
Воспользуемся формулой для кривизны: $$\frac{1}{r}=\frac{\dot x\ddot y-\dot y\ddot x}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}$$ Подставим в эту формулу выражения для производных, и при $t=0$, получим: $v_0=\sqrt{rg}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение28.10.2012, 10:48 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Oleg Zubelevich в сообщении #636563 писал(а):
dovlato в сообщении #636554 писал(а):
Я думаю, кривизну надо сравнивать с $1/r$. При точном равенстве реакция опоры нулевая.

думаю, что это неверно, нормальная компонента к траектории центра наверное нулева, а касательная может и нет

Согласен. Из этого, кстати, следует, что формула в задачнике, строго говоря, неверна: с некоторого момента шар неизбежно начнёт скользить. Нарушится баланс энергии. Центр, думаю, при этом будет двигаться с большей скоростью, чем в отсутствие скольжения. И следовательно, шар станет отрываться чуть пораньше, т.е. при меньшем угле. Конечно, эффекты исчезающе малые. Но ведь и данная задача - игра в бисер. Автор задачника нарушил собственные правила. Невольно..
Кстати, если бы это был барабан со сматывающейся невесомой нитью, которая не давала бы ему скользить - вот тогда всё было бы правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар
Сообщение28.10.2012, 14:06 


10/02/11
6786
dovlato в сообщении #636755 писал(а):
Но ведь и данная задача - игра в бисер.

Вот именно, просто такое условие: шар не скользит, а как эту связь реализовать -- второй вопрос. Ну, кстати, я там еще одну задачу вывесил и в ней автор именно этот эффект с началом скольжения уже разбирает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group