Две противоположные точки с одинаковой температурой

[Ktina]

Довольно странная задача:
Доказать, что на Экваторе найдутся две противоположные точки с одинаковой температурой.

А мне думается, что это не совсем так. Возьмём окружность и покрасим все точки $0^{\circ}\le x<180^{\circ}$ в нулевую температуру, а все точки $x\ge 180^{\circ}$ в температуру $0+\varepsilon$. Ну и где эти две противоположные точки?

[xmaister]

Ktina, про теорему Борсука-Улама что-нибудь слышали?

[ИСН]

По-любому там в условии должно было быть что-то про непрерывность.

[xmaister]

Ну да, наверное. Температуру считаем непрерывной $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$. Иначе это скорее всего не верно.

[Ktina]

xmaister в сообщении #636369 писал(а):

Ktina, про теорему Борсука-Улама что-нибудь слышали?

ИСН в сообщении #636370 писал(а):

По-любому там в условии должно было быть что-то про непрерывность.

А кто сказал, что температура на Экваторе -- непрерывная функция? Могут ведь столкнуться тёплые и холодные воздушные потоки. Я из личного опыта знаю, когда купаешься в морской воде, бывает, что резко наталкиваешься на холодное течение.

[xmaister]

Ktina в сообщении #636374 писал(а):

А кто сказал, что температура на Экваторе -- непрерывная функция?

Тогда это просто не верно. Попробуйте сами придумать пример. Вообще я воспринимаю температуру, как какую-то функцию $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$, не более. Как она там определяется из-за холодно-теплых потоков мне не интересно.

[gris]

По-моему, есть такая теорема, что для любой непрерывной периодической функции и для любого $a$ существует $x: f(x+a)=f(x)$?

[xmaister]

gris, в упор не вижу, как она тут работать будет.

Ktina, если Вам интересно, как это доказывать существование таких точек для $f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{R}^n$, то, скорее всего без вычисления групп гомологий не обойтись. Быть может для $n=1$ можно что-то более простое придумать.

[gris]

xmaister, я на самом деле не помню и никак не могу понять, верно это или нет Хотелось бы.
Но если теорема верна, то верно и более общее утверждение: для любого расстояния на экваторе есть точки с одинаковой температурой, располагающиеся на таком расстоянии (вдоль экватора). В том числе и на расстоянии в полэкватора.

И ещё чего-то туплю: Разве многомерный случай не следует из одномерного? Ведь функция, непрерывная на сфере будет непрерывна и на её экваторе? Ну и так далее по индукции. В чём там загвоздка?

+++ Там функция в $\mathbb {R}^n$, то есть не следует. Спасибо.

[Ktina]

xmaister в сообщении #636377 писал(а):

Ktina, если Вам интересно, как это доказывать существование таких точек для $f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{R}$, то, скорее всего без вычисления групп гомологий не обойтись. Быть может для $n=1$ можно что-то более простое придумать.

Вообще-то, задача вот отсюда: http://ium.mccme.ru/postscript/f12/analiz1-listok3.pdf (девятая)
И отсюда тоже: http://www.hse.ru/data/2011/09/20/12674 ... ist_03.pdf (15-я)...

[xmaister]

Ktina, ага она . Когда я её сдавал, у меня приняли такое решение)

[Ktina]

xmaister в сообщении #636381 писал(а):

Ktina, ага она . Когда я её сдавал, у меня приняли такое решение)

Какое? Гомологическое?
По-моему, тут можно проще. Возьмём навскидку две противоположные точки. Если в них одинаковая температура, то задача решена. Если нет, то, скажем, в точке А будет больше, чем в точке В. Тогда станем крутить эти точки вокруг центра Земли, пока не достигнем угла 180 градусов -- и получим, что теперь в точке В больше, чем в А. Но это означает, что где-то по пути была точка, в которой было равно. Как-то так....

[xmaister]

Я и не утверждал, что проще никак нельзя.

Ktina в сообщении #636382 писал(а):

Но это означает, что где-то по пути была точка, в которой было равно.

Поясните это, пожалуйста, по подробнее.

-- 27.10.2012, 12:56 --

gris в сообщении #636379 писал(а):

Разве многомерный случай не следует из одномерного? Ведь функция, непрерывная на сфере будет непрерывна и на её экваторе? Ну и так далее по индукции. В чём там загвоздка?

Если рассматривать $f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{R}$, то следует.

[Ktina]

xmaister в сообщении #636388 писал(а):

Я и не утверждал, что проще никак нельзя.

Ktina в сообщении #636382 писал(а):

Но это означает, что где-то по пути была точка, в которой было равно.

Поясните это, пожалуйста, по подробнее.

Если было больше, а потом стало меньше, то возможны два варианта: либо проскочили через нуль (но тогда непрерывностью не пахнет), либо в этом нулю побывали. Это мне какую-то теорему напоминает. По-моему, Ролля...

[_Ivana]

Можно просто рассмотреть новую функцию в точке - разность температуры в ней и в противоположной точке. Она непрерывна, и т.д. Значит проходит через ноль.