2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:08 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Довольно странная задача:
Доказать, что на Экваторе найдутся две противоположные точки с одинаковой температурой.

А мне думается, что это не совсем так. Возьмём окружность и покрасим все точки $0^{\circ}\le x<180^{\circ}$ в нулевую температуру, а все точки $x\ge 180^{\circ}$ в температуру $0+\varepsilon$. Ну и где эти две противоположные точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Ktina, про теорему Борсука-Улама что-нибудь слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
По-любому там в условии должно было быть что-то про непрерывность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Ну да, наверное. Температуру считаем непрерывной $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$. Иначе это скорее всего не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:18 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
xmaister в сообщении #636369 писал(а):
Ktina, про теорему Борсука-Улама что-нибудь слышали?

ИСН в сообщении #636370 писал(а):
По-любому там в условии должно было быть что-то про непрерывность.

А кто сказал, что температура на Экваторе -- непрерывная функция? Могут ведь столкнуться тёплые и холодные воздушные потоки. Я из личного опыта знаю, когда купаешься в морской воде, бывает, что резко наталкиваешься на холодное течение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Ktina в сообщении #636374 писал(а):
А кто сказал, что температура на Экваторе -- непрерывная функция?

Тогда это просто не верно. Попробуйте сами придумать пример. Вообще я воспринимаю температуру, как какую-то функцию $f:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$, не более. Как она там определяется из-за холодно-теплых потоков мне не интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
По-моему, есть такая теорема, что для любой непрерывной периодической функции и для любого $a$ существует $x: f(x+a)=f(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
gris, в упор не вижу, как она тут работать будет.

Ktina, если Вам интересно, как это доказывать существование таких точек для $f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{R}^n$, то, скорее всего без вычисления групп гомологий не обойтись. Быть может для $n=1$ можно что-то более простое придумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
xmaister, я на самом деле не помню и никак не могу понять, верно это или нет :oops: Хотелось бы.
Но если теорема верна, то верно и более общее утверждение: для любого расстояния на экваторе есть точки с одинаковой температурой, располагающиеся на таком расстоянии (вдоль экватора). В том числе и на расстоянии в полэкватора.

И ещё чего-то туплю: Разве многомерный случай не следует из одномерного? Ведь функция, непрерывная на сфере будет непрерывна и на её экваторе? Ну и так далее по индукции. В чём там загвоздка?

+++ Там функция в $\mathbb {R}^n$, то есть не следует. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
xmaister в сообщении #636377 писал(а):

Ktina, если Вам интересно, как это доказывать существование таких точек для $f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{R}$, то, скорее всего без вычисления групп гомологий не обойтись. Быть может для $n=1$ можно что-то более простое придумать.

Вообще-то, задача вот отсюда: http://ium.mccme.ru/postscript/f12/analiz1-listok3.pdf (девятая) :wink:
И отсюда тоже: http://www.hse.ru/data/2011/09/20/12674 ... ist_03.pdf (15-я)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Ktina, ага она :-). Когда я её сдавал, у меня приняли такое решение)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:42 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
xmaister в сообщении #636381 писал(а):
Ktina, ага она :-). Когда я её сдавал, у меня приняли такое решение)

Какое? Гомологическое?
По-моему, тут можно проще. Возьмём навскидку две противоположные точки. Если в них одинаковая температура, то задача решена. Если нет, то, скажем, в точке А будет больше, чем в точке В. Тогда станем крутить эти точки вокруг центра Земли, пока не достигнем угла 180 градусов -- и получим, что теперь в точке В больше, чем в А. Но это означает, что где-то по пути была точка, в которой было равно. Как-то так....

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Я и не утверждал, что проще никак нельзя.
Ktina в сообщении #636382 писал(а):
Но это означает, что где-то по пути была точка, в которой было равно.

Поясните это, пожалуйста, по подробнее.

-- 27.10.2012, 12:56 --

gris в сообщении #636379 писал(а):
Разве многомерный случай не следует из одномерного? Ведь функция, непрерывная на сфере будет непрерывна и на её экваторе? Ну и так далее по индукции. В чём там загвоздка?

Если рассматривать $f:\mathbb{S}^n\to\mathbb{R}$, то следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 11:59 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
xmaister в сообщении #636388 писал(а):
Я и не утверждал, что проще никак нельзя.
Ktina в сообщении #636382 писал(а):
Но это означает, что где-то по пути была точка, в которой было равно.

Поясните это, пожалуйста, по подробнее.

Если было больше, а потом стало меньше, то возможны два варианта: либо проскочили через нуль (но тогда непрерывностью не пахнет), либо в этом нулю побывали. Это мне какую-то теорему напоминает. По-моему, Ролля...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две противоположные точки с одинаковой температурой
Сообщение27.10.2012, 12:02 


05/09/12
2587
Можно просто рассмотреть новую функцию в точке - разность температуры в ней и в противоположной точке. Она непрерывна, и т.д. Значит проходит через ноль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group