Про «перемену мест» слагаемых

[arseniiv]

Ну почему же, последовательности тоже существуют целиком все разом всегда. Хотя последовательность — уже функция.

[shwedka]

Позвольте свои три цента в дискуссию внести. Коллега[+], в математике не страшно редки различные, альтернативные конструкции аксиоматики для определенных объектов. Они даже не абсолютно всегда друг другу эквивалентны. Выживаемость различных моделей зависит в немалой степени от объема набора теорем, которые можно, исходя из конкретной конструкции, доказать, от богатства соответствующей теории.
Вот Вы, что всяко полезно, задумались, и, судя по всему глубоко, об аксиоматике алгебраической системы чисел. Предлагаете иное ее понимание. Хороша или плоха Ваша система? Уже одна пробоина получена. С бесконечными знакопеременными рядами Ваш подход не справляется. Чтобы убедить сообщество в, все же, полезности Вашего подхода, не стоит повторять, что он интуитивно Вам понятнее. В этой компании такой персональный аргумент не особенно весом. Вместо этого, покажите реальное преимущество Вашего подхода. Возьмите какую нибудь классическую теорему алгебры и докажите ее в рамках Вашего подхода. Ну, что-нибудь, хотя бы на школьном уровне. Например, формулу суммы арифметической прогрессии. Без всяких глупостей типа коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, индукции и прочих лукавостей, а по-Вашему, по-простому.
И посмотрим, что получится.
Сделайте, чтобы все восхитились!

[lek]

Тема продолжает активно обсуждаться, причем критические замечания превалируют (разумеется, не безосновательно). Ну а что получится, если следовать идеологии топик-стартера. Оказывается, что получаются занятные вещи...

Пусть $S$ - множество (класс) всех треугольников площади $s$. Определим на множестве всех таких классов операцию сложения следующим образом. Выберем треугольники (представители) $AOB\in S_1$, $BOC\in S_2$ и $COA\in S_3$ с углами $120^o$ при общей вершине. Будем считать, что $S_1+S_2+S_3=S$, если треугольник $ABC\in S$. Поскольку последний определяется однозначно для фиксированных $s_1$, $s_2$ и $s_3$ (это не трудно проверить), операция сложения определена корректно. Очевидно, она коммутативна и ассоциативна в том смысле, что $S_1+S_2+S_3=S_2+S_1+S_3=\dots=S_3+S_2+S_1$ и $(S_1+S_2+S_3)+S_4+S_5=\dots=S_1+S_2+(S_3+S_4+S_5)$. Теперь обобщим рассмотренную конструкции на произвольное множество элементов. Для этого достаточно постулировать закон сложения $a+b+c=d$ и тождества коммутативности-ассоциативности. В результате получим (не бинарную) операцию сложения. Добавив нейтральный и "противоположный" элементы, получим аналог абелевой группы. С формальной точки зрения это определение ничем не хуже стандартного-"бинарного".

[Munin]

arseniiv в сообщении #635727 писал(а):

Ну почему же, последовательности тоже существуют целиком все разом всегда. Хотя последовательность — уже функция.

Я и не спорю, что они существуют целиком все разом всегда. Я просто указываю, что они при этом обладают структурой, отличающейся от суммы конечного числа слагаемых.

[ishhan]

lek в сообщении #635733 писал(а):

Добавив нейтральный и "противоположный" элементы, получим аналог абелевой группы. С формальной точки зрения это определение ничем не хуже стандартного-"бинарного".

Хотелось бы в популярной форме и поподробней.
Есть смысл вводить нейтральный, а затем противоположный элемент?
Не будет ли это тавтологией с некоторой точки зрения?

[epros]

arseniiv в сообщении #635679 писал(а):

$\begin{array}{l} A = \varnothing \Rightarrow S(A) = 0, \\ A = B \cup C \mathbin\& B \cap C = \varnothing \Rightarrow S(A) = S(B) + S(C). \end{array}$
…
Заодно прошу остальных участников (особенно epros) поправить моё построение, если с ним что-то не так.

Подход вроде правильный, но есть одна маленькая проблемка: Непонятно, что такое $S(B) + S(C)$. Тут надо вспомнить, что функция $S$ ставит объект в соответствие множеству объектов. Поэтому правильно так: $ S(A) = S(\{S(B), S(C)\})$.

[lek]

ishhan в сообщении #635756 писал(а):

Есть смысл вводить нейтральный, а затем противоположный элемент?
Не будет ли это тавтологией с некоторой точки зрения?

Ну почему же тавталогия? Любая группа содержит единицу (нулевой элемент) и любой элемент группы имеет обратный (или противоположный, если группа абелева). Это разные понятия и они оба используются в стандартном определении группы...

[arseniiv]

epros в сообщении #635774 писал(а):

Подход вроде правильный, но есть одна маленькая проблемка: Непонятно, что такое $S(B) + S(C)$. Тут надо вспомнить, что функция $S$ ставит объект в соответствие множеству объектов. Поэтому правильно так: $ S(A) = S(\{S(B), S(C)\})$.

У меня было предположение, что бинарная операция $+$ уже описана, и надо только построить на основе неё суммы в смысле ТС.

-- Чт окт 25, 2012 23:32:22 --

(Сначала я хотел сделать определение вида $a\in A \Rightarrow S(A) = S(A\{a\}) + a$, но потом решил, что лучше объединением.)

Ой! Я не связал суммы одноэлементных множеств с их элементами! К моей системе надо добавить третью аксиому $\forall a(a\in A \Leftrightarrow a = c) \Rightarrow S(A) = c$.

-- Чт окт 25, 2012 23:34:45 --

Кстати, а хватит ли импликаций в этих трёх определениях, или надо их заменить эквивалентностями? Вроде надо.

[ishhan]

lek в сообщении #635783 писал(а):

Ну почему же тавталогия? Любая группа содержит единицу (нулевой элемент) и любой элемент группы имеет обратный (или противоположный, если группа абелева). Это разные понятия и они оба используются в стандартном определении группы...

А если в этой группе операцией является сложение...
И единичный элемент записывается, как $0$?

[arseniiv]

Нейтральный элемент — 0, да.

[Munin]

На самом деле, операция в группе не может "являться" ни сложением, ни умножением, ни чесанием пятки. Для групповой структуры это всё едино. Но группы можно записывать двумя основными способами: "аддитивным", когда операция, единица, обратный и итерация выглядят как $a+b,0,-a,na,$ и "мультипликативным", когда, соответственно, $ab$ (или $a\cdot b$)$, 1,a^{-1},a^n.$ Какой способ выбирать - дело традиции и вкуса, например:
- некоммутативные группы обычно записываются "мультипликативно";
- в составе кольца одна группа записывается "аддитивно", а другая "мультипликативно", так что единица "аддитивной" группы является поглотителем "мультипликативной".

Например, группа $\mathbb{R}$ по сложению изоморфна группе $\mathbb{R}^+$ по умножению, то есть это одна и та же группа. Но записывать её в большинстве случаев принято "аддитивно".

[epros]

arseniiv в сообщении #635796 писал(а):

Кстати, а хватит ли импликаций в этих трёх определениях, или надо их заменить эквивалентностями? Вроде надо.

Нет, конечно. Из $S(\{a, 0\}) = a$ не следует $\{a, 0\} = \{a\}$.

Вообще, наверное проще, используя уже введённые символы операций над множествами, записать так:

$S(\varnothing) = 0$
$S(\{a\}) = a$
$S(A \cup B) = S(\{S(A),S(B \setminus A)\})$

Только применительно к бесконечным множествам эта аксиоматика может получиться противоречивой, так что придётся дополнительно оговаривать конечность $A$ и $B$.

-- Пт окт 26, 2012 11:21:37 --

Да и вообще, ещё не факт, что это соответствует нормальному пониманию суммы. В частности, не определены такие вещи, как $1+1$.

[epros]

Так что, похоже, что придётся доопределять такую вещь, как «количество вхождений данного числа в сумму». А для определения этих количеств придётся привлекать понятие натурального числа. А потом придётся оговаривать, что получится, если слагаемое - натуральное число. В общем, вернёмся к той же арифметике натуральных чисел.

Короче, непонятно, зачем это всё было нужно. Есть же нормальное определение суммы как бинарной операции, из которого следуют все известные свойства сумм более, чем двух слагаемых.

[shwedka]

epros в сообщении #636002 писал(а):

Короче, непонятно, зачем это всё было нужно. Есть же нормальное определение суммы как бинарной операции, из которого следуют все известные свойства сумм более, чем двух слагаемых.

Вот в этом-то и дело! Мне кажется, что и ТС уже отключился.

[[+]]

shwedka писал(а):

Вот в этом-то и дело! Мне кажется, что и ТС уже отключился.

Не знаю, почему вы так настойчиво желаете, чтобы я отключился. Вроде бы мы с вами раньше не были знакомы, и я вам на хвост не наступал.

Пока выясняется, что гипотетическая теория суммы в «моём» понимании больше всего похожа на классическую теорию меры, где, действительно, количество и порядок «слагаемых» не важны с самого начала.