Теория чисел и групп.

[ИСН]

ИСН в сообщении #634953 писал(а):

Но 2 циклические группы в произведении, как вы уже раньше сказали, дают нециклическую группу.

Не всегда, кстати.

-- Вт, 2012-10-23, 21:19 --

Deceember в сообщении #634956 писал(а):

ИСН, Окей, не спорю. Я найду порядки всех элементов группы (прямого произведения), а как потом найденных порядков сделать вывод о том, что она циклическая/нециклическая?

Посмотреть на циклическую группу, в которой столько же элементов. Найти порядки уже у них.

[Deceember]

Я похоже понял) Надо взять каждый элемент группы, провозводить его в степень в соотвествии с заданной операцией. Разбить на подгруппы. таким образом, и если мощность какой-то подгруппы будет равна мощности группы то она будет циклической, верно?) Или проще есть способ?

-- 23.10.2012, 21:24 --

Поздно написал, а так как я сказал, можно сделать? Хотя... Ваш способ явно лучше))

[ИСН]

В теории групп уже есть понятие "подгруппа" со вполне конкретным смыслом. Вы в каком смысле употр

-- Вт, 2012-10-23, 21:24 --

а нет, я понял

-- Вт, 2012-10-23, 21:25 --

ну да, да, примерно так. Если какой-то элемент порождает всю группу, то она циклическая. Точно, так.

[Deceember]

Блин...)
На самом деле ваш способ, он Умный, а мой как просто втупую перебор(

Но на самом деле если ,например, надо оценивать группу из 9 элементов. Я не знаю, может вы знаете сходу таблицу умножения такой группы, на которой определена произвольная бинарная операция ( или хотя бы умножение) чтобы она была циклической и какие порядки будут у ее элементов. Я с моим опытом в теории групп , который сводится к месяцу умучусь такое делать, а прогу писать, чтобы посчитало уже времени нет(

[ИСН]

Циклическая группа каждого порядка ровно одна, и знать тут нечего.

[Deceember]

Но этого же ни жарко ни холодно...

У циклической групы из 4 элементов, как я уже считал порядки

e a b c
1 2 4 2

Фиг знает то, что может быть у группы из 9? А чтобы вашим способом воспользоваться, мне нужны порядки всех 9 элементов(

[ИСН]

Циклическая группа порядка 9 - это $Z_9$.

[Deceember]

Все понял. Тогда самый последний вопрос, почему циклическая группа заданного порядка всего одна??? Как описарться на этот факт?

Любая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда вытекает, что, с точностью до изоморфизма, существует только одна конечная циклическая группа данного порядка.
Так написано на Вики, но я не понимаю почему оно вытекает????

[ИСН]

Потому что если группа циклическая, то в ней есть элемент (обычно даже не один, но сейчас это не важно), который порождает всю группу. Обозначим групповую единицу - "0", операцию - "+", а этот элемент - "1". Стоп, дак это же мы опять КПСС $Z_n$ построили!

[VAL]

Пусть $\{a, a^2, a^3,\dots, a^n=e\}$ - циклическая группа порядка $n$, порожденная $a$. Также умножение элементов по существу сводится сложению показателей по модулю $n$. То есть мы, по сути, имеем дело с группой классов вычетов по модулю $n$ относительно сложения.