Открытое множество, замкнутое

[lampard]

Немного путаюсь в понятиях, помогите, пожалуйста, разобраться.

Открытое множество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью.

Замкнутое множество -- это дополнение к открытому множеству.

Я вот не очень понял -- почему дополнение к открытому множеству именно замкнутое, я думал, что это множество, которое не является открытым.

Можете, пожалуйста, привести пример:

1) Открытого замкнутого множества.

2) Отрытого незамкнутого множества.

3) Не открытого, но замкнутого множества.

4) Не открытого и незамкнутого.

Ну или объяснить в чем различия 2) и 3) пункта.

[Maslov]

$1)~(-\infty, +\infty)$

$2)~(0,1)$

$3)~[0,1]$

$4)~(0,1]$

[xmaister]

Вы дали опрелеления откпытых и замкнутых множеств, прмепы вот:
1. Только пустое и в е $\mathbb{R}$. Доказывайте линейую связность.
2. Все открытые в $\mathhb {R}$ не замкнуты.
3. $[0,1]$
4. $[0,1)$

[thoringen]

Добрый день.
Ищу иллюстрацию или наглядный пример предельных точек. и соответственно замкнутого множества на картинке.
Заранее благодарю.

[ИСН]

Вы в школе отрезки и интервалы мелом на доске рисовали, или этот метод уже тоже признан наносящим вред здоровью и развитию детей?

-- Вт, 2012-10-23, 20:36 --

Если да (в смысле, рисовали), то вот это и была иллюстрация.

[thoringen]

отрезок-замкнутое
интервал-открыто.
замкнутое-которое содержит все свои предельные точки,т.е те в чьих окресностях есть точки отличные от данных(предельных).
например отрезок $[1,10]$. Какие здесь точки предельные?

[ИСН]

Все.