2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:07 


16/08/09
304
Итак: надо доказать, что уравнение $X^3  + Y^3  = Z^3 $

не имеет решения в натуральных числах, при условии: $X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа.

1 случай: $Z - $ нечетное число
Пусть

$Z = X + Y - k\qquad(2)$

Далее

$\begin{array}{l}
 X^3  + Y^3  = (X + Y - k )^3  \\ 
\\
 (X + Y)(X^2  - XY + Y^2 ) = (X + Y)^3  - 3(X + Y)^2 k + 3(X + Y)k^2  - k^3 \qquad(3) \\ 
 \end{array}$

Правая часть (3) кратна $X + Y$, т.е

$p(X + Y) = k^3 ; p  \in N;  p  \ge 1\qquad(4)$

Получаем 2 варианта.

1 вариант:

$k < (X + Y) < k^3 $

Тогда

$\begin{array}{l}
 (X + Y) = \frac{t}{m}k   \\ 
\\
 k = \frac{{m(X + Y)}}{t}\qquad(5) \\ 
 \end{array}$

Где $m,t \in N;  t > m;  m,t - $нечетные числа.

Подставим (5) в (3):

$\begin{array}{l}
 (X + Y)(X^2  - XY + Y^2 ) = (X + Y)^3  - 3(X + Y)^2 \frac{{m(X + Y)}}{t} + 3(X + Y)\frac{{m^2 (X + Y)^2 }}{{t^2 }} - \frac{{m^3 (X + Y)^3 }}{{t^3 }} \\ 
\\ 
(X^2  - XY + Y^2 )t^3  = (X + Y)^2 (t^3  - 3t^2 m + 3tm^2  - m^3 )                                                            \\ 
\\
\\
 (X^2  - XY + Y^2 )t^3  = (X + Y)^2 (t - m)^3\qquad                                           (6)   \\ 
 \end{array}$

С учетом условия нечетности $Z$ получаем в (6) в левой части

$(X^2  - XY + Y^2 )t^3$- нечетное число.

В правой части
$(X + Y)^2 (t - m)^3 $- четное число.

Равенство (6) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.
Что и требовалось доказать.

2 вариант:

($X + Y) = k^3 $
Тогда

$\begin{array}{l}
(X + Y) = k^2 k   \\ 
 \\
k = \frac{{(X + Y)}}{{k^2 }}\qquad                                             (7) \\ 
 \end{array}
$

Где $ k \in N;   k$ - нечетное число.

Подставим (7) в (3)

$\begin{array}{l}
 (X + Y)(X^2  - XY + Y^2 ) = (X + Y)^3  - 3(X + Y)^2 \frac{{(X + Y)}}{{k^2 }} + 3(X + Y)\frac{{(X + Y)^2 }}{{k^4 }} - \frac{{(X + Y)^3 }}{{k^6 }} \\ 
 \\
(X^2  - XY + Y^2 )k^6  = (X + Y)^2 (k^6  - 3k^4  + 3k^2  - 1)                                                            \\ 
 \\
 \\ 
 (X^2  - XY + Y^2 )k^6  = (X + Y)^2 (k^2  - 1)^3\qquad                                            (7a)   \\ 
 \end{array}
$

С учетом условия нечетности $Z$ получаем в (7а) в левой части

$(X^2  - XY + Y^2 )k^6 $ - нечетное число.

В правой части

$(X + Y)^2 (k^2  - 1)^3 $ - четное число
Равенство (7а) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.
Что и требовалось доказать.

2 случай: $Z$ четное число

Пусть

$\begin{array}{l}
 Y > X \\ 
\\
 Y = Z - X + c\qquad                                                               (8) \\ 
 \end{array}
$

Тогда

$\begin{array}{l}
 Z^3  - X^3  = (Z - X + c )^3  \\ 
\\
 (Z - X)(Z^2  + ZX + X^2 ) = (Z - X)^3  + 3(Z - X)^2 c + 3(Z - X)c^2  + c^3\qquad          (9) \\ 
 \end{array}
$

Правая часть (9) кратна $Z - X$, т.е

$f(Z - X) = c^3 ;    f  \in N; f  \ge 1\qquad                                       (10)$

Тогда получаем 2 варианта:

1 вариант:

$f  = 1; (Z - X) = c^3\qquad                                      (10a)$

$\begin{array}{l}
 (Z - X) = c^2 c   \\ 
\\
c = \frac{{(Z - X)}}{{c^2 }}\qquad                                             (11) \\ 
 \end{array}
$

Где $c \in N;  c$ - нечетное число.

Подставим (11) в (9)

$\begin{array}{l}
 (Z - X)(Z^2  + ZX + X^2 ) = (Z - X)^3  - 3(Z - X)^2 \frac{{(Z - X)}}{{c^2 }} + 3(Z - X)\frac{{(Z - X)^2 }}{{c^4 }} - \frac{{(Z - X)^3 }}{{c^6 }} \\ 
\\
 (Z^2  + ZX + X^2 )c^6  = (Z - X)^2 (c^6  - 3c^2  + 3c^2  - 1)                                                            \\ 
 \\ 
 \\
 (Z^2  + ZX + X^2 )c^6  = (Z - X)^2 (c^2  - 1)^3\qquad                                            (12)   \\ 
 \end{array}$

С учетом условия четности получаем в (12) в левой части

$(Z^2  + ZX + X^2 )c^6 $ - нечетное число.

В правой части

$(Z - X)^2 (c^2  - 1)^3$ - четное число.

Равенство (12) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.

2 вариант:

$f  > 1; (Z - X) < c^3\qquad                                      (13)$

Тогда

$\begin{array}{l}
 (Z - X) = \frac{a}{b}c   \\ 
\\
 c = \frac{{b(Z - X)}}{a}\qquad                                             (14) \\ 
 \end{array}
$

Где $a,b \in N;  a \ne b;  a,b$ - нечетные числа.

Подставим (14) в (9)

$\begin{array}{l}
 (Z - X)(Z^2  + ZX + X^2 ) = (Z - X)^3  - 3(Z - X)^2 \frac{{b(Z - X)}}{a} + 3(Z - X)\frac{{b^2 (Z - X)^2 }}{{a^2 }} - \frac{{b^3 (Z - X)^3 }}{{a^3 }} \\ 
\\
 (Z^2  + ZX + X^2 )a^3  = (Z - X)^2 (a^3  - 3a^2 b + 3ab^2  - b^3 )                                                            \\ 
 \\ 
 \\
 (Z^2  + ZX + X^2 )a^3  = (Z - X)^2 (a - b)^3\qquad                                             (15)   \\ 
 \end{array}$

Получаем 2 подварианта.

1 подвариант:

$(Z - X) < c   \Rightarrow  a < b\qquad                                                           (16)
$

С учетом условия четности $Z$ получаем в (15) в левой части:

$(Z^2  + ZX + X^2 )a^3$- положительное нечетное число.

В правой части:

$(Z - X)^2 (a - b)^3  $ - отрицательное число.

Равенство (15) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.

2 подвариант:

$(Z - X) > c   \Rightarrow  a > b\qquad  (17)$

С учетом условия четности $Z$ получаем в (12) в левой части

$(Z^2  + ZX + X^2 )a^3 $ - нечетное число.

В правой части

$(Z - X)^2 (a - b)^3  $ - четное число.

Равенство (15) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.
Что и требовалось доказать.
Вывод 1: Доказано, что уравнение $X^3  + Y^3  = Z^3 $ не имеет решения в натуральных числах, при условии: $X,Y,Z \in N;X,Y,Z$ - взаимно простые числа.

Аналогично доказывается для любых нечетных степеней.

Вывод 2: Доказано, что уравнение $X^{2n + 1}  + Y^{2n + 1}  = Z^{2n + 1}$
не имеет решения в натуральных числах, при условии:
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z$ - взаимно простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:16 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Belfegor в сообщении #625802 писал(а):
Тогда

$\begin{array}{l}
 (X + Y) = \frac{t}{m}k   \\ 
\\
 k = \frac{{m(X + Y)}}{t}\qquad(5) \\ 
 \end{array}$

Где $m,t \in N;  t > m;  m,t - $нечетные числа.
Почему нечётные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:21 


16/08/09
304
venco в сообщении #625809 писал(а):
Почему нечётные?


Уважаемый venco!
Потому что $(X + Y)$- нечетное число и $k$ - нечетное число и эти числа кратны между собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
а $m$ четное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:29 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Belfegor в сообщении #625802 писал(а):
($X + Y) = k^3 $
Тогда

$\begin{array}{l}
(X + Y) = k^2 k  
 \end{array}$

Да, трогательная забота о читателе... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:29 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Belfegor в сообщении #625814 писал(а):
venco в сообщении #625809 писал(а):
Почему нечётные?


Уважаемый venco!
Потому что $(X + Y)$- нечетное число и $k$ - нечетное число
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:33 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Belfegor в сообщении #625814 писал(а):
эти числа кратны между собой.
Это как? 1 и 1? (Ну просто я на математика не учился, только на модератора :oops: ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Ни по какому модулю противоречие не получится. По любому модулю решения этих уравнений имеются. Противоречия получаются при рассмотрении первого случая по модулю $n^2$ только для некоторых простых n, в том числе для 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:46 


16/08/09
304
AKM в сообщении #625827 писал(а):
Это как? 1 и 1? (Ну просто я на математика не учился, только на модератора :oops: ).

Уважаемый AKM!
Ну хоть народ повеселился, а то совсем заскучали :D
Тему можно закрывать, это, похоже, было самое удивительное доказательство :shock: :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 21:53 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 i  Не следует своё заскучание распространять на "народ".

Веселение народа не есть цель данного форума. И это уже не первое Ваше $\mathrm{N_2O}$-сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение01.10.2012, 22:10 


16/08/09
304
Уважаемые AKM, venco, Руст и другие участники форума! Приношу свои извинения, я ненароком, запутался в чётностях! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1
Сообщение23.10.2012, 11:11 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Beifegor! Число k в этом случае всегда только четное, так как только одно из взаимно простых чисел X, Y, Z число четное. Vfsili

-- 23.10.2012, 15:08 --

Уважаемый Beifegor! Почему Вы одно и тоже число обозначаете через K и через C?
Число P в (4) и f в (10) не могут равны 1, так как эти числа как минимум произведения двух делителей чисел: в первом случае чисел X и Y, во втором чисел Z и X.
Благодаря формулам Абеля, не трудно показать, что число К равно произведению делителей чисел X,Y и Z и нечетного числа, которое для 1 случая ВТФ кратно показателю степени в квадрате. Vasili

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group