Совсем элементарное доказательство ВТФ для n=3 и n=2k+1

[Belfegor]

Итак: надо доказать, что уравнение $X^3 + Y^3 = Z^3 $

не имеет решения в натуральных числах, при условии: $X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа.

1 случай: $Z - $ нечетное число
Пусть

$Z = X + Y - k\qquad(2)$

Далее

$\begin{array}{l} X^3 + Y^3 = (X + Y - k )^3 \\ \\ (X + Y)(X^2 - XY + Y^2 ) = (X + Y)^3 - 3(X + Y)^2 k + 3(X + Y)k^2 - k^3 \qquad(3) \\ \end{array}$

Правая часть (3) кратна $X + Y$, т.е

$p(X + Y) = k^3 ; p \in N; p \ge 1\qquad(4)$

Получаем 2 варианта.

1 вариант:

$k < (X + Y) < k^3 $

Тогда

$\begin{array}{l} (X + Y) = \frac{t}{m}k \\ \\ k = \frac{{m(X + Y)}}{t}\qquad(5) \\ \end{array}$

Где $m,t \in N; t > m; m,t - $нечетные числа.

Подставим (5) в (3):

$\begin{array}{l} (X + Y)(X^2 - XY + Y^2 ) = (X + Y)^3 - 3(X + Y)^2 \frac{{m(X + Y)}}{t} + 3(X + Y)\frac{{m^2 (X + Y)^2 }}{{t^2 }} - \frac{{m^3 (X + Y)^3 }}{{t^3 }} \\ \\ (X^2 - XY + Y^2 )t^3 = (X + Y)^2 (t^3 - 3t^2 m + 3tm^2 - m^3 ) \\ \\ \\ (X^2 - XY + Y^2 )t^3 = (X + Y)^2 (t - m)^3\qquad (6) \\ \end{array}$

С учетом условия нечетности $Z$ получаем в (6) в левой части

$(X^2 - XY + Y^2 )t^3$- нечетное число.

В правой части
$(X + Y)^2 (t - m)^3 $- четное число.

Равенство (6) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.
Что и требовалось доказать.

2 вариант:

($X + Y) = k^3 $
Тогда

$\begin{array}{l} (X + Y) = k^2 k \\ \\ k = \frac{{(X + Y)}}{{k^2 }}\qquad (7) \\ \end{array} $

Где $ k \in N; k$ - нечетное число.

Подставим (7) в (3)

$\begin{array}{l} (X + Y)(X^2 - XY + Y^2 ) = (X + Y)^3 - 3(X + Y)^2 \frac{{(X + Y)}}{{k^2 }} + 3(X + Y)\frac{{(X + Y)^2 }}{{k^4 }} - \frac{{(X + Y)^3 }}{{k^6 }} \\ \\ (X^2 - XY + Y^2 )k^6 = (X + Y)^2 (k^6 - 3k^4 + 3k^2 - 1) \\ \\ \\ (X^2 - XY + Y^2 )k^6 = (X + Y)^2 (k^2 - 1)^3\qquad (7a) \\ \end{array} $

С учетом условия нечетности $Z$ получаем в (7а) в левой части

$(X^2 - XY + Y^2 )k^6 $ - нечетное число.

В правой части

$(X + Y)^2 (k^2 - 1)^3 $ - четное число
Равенство (7а) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.
Что и требовалось доказать.

2 случай: $Z$ четное число

Пусть

$\begin{array}{l} Y > X \\ \\ Y = Z - X + c\qquad (8) \\ \end{array} $

Тогда

$\begin{array}{l} Z^3 - X^3 = (Z - X + c )^3 \\ \\ (Z - X)(Z^2 + ZX + X^2 ) = (Z - X)^3 + 3(Z - X)^2 c + 3(Z - X)c^2 + c^3\qquad (9) \\ \end{array} $

Правая часть (9) кратна $Z - X$, т.е

$f(Z - X) = c^3 ; f \in N; f \ge 1\qquad (10)$

Тогда получаем 2 варианта:

1 вариант:

$f = 1; (Z - X) = c^3\qquad (10a)$

$\begin{array}{l} (Z - X) = c^2 c \\ \\ c = \frac{{(Z - X)}}{{c^2 }}\qquad (11) \\ \end{array} $

Где $c \in N; c$ - нечетное число.

Подставим (11) в (9)

$\begin{array}{l} (Z - X)(Z^2 + ZX + X^2 ) = (Z - X)^3 - 3(Z - X)^2 \frac{{(Z - X)}}{{c^2 }} + 3(Z - X)\frac{{(Z - X)^2 }}{{c^4 }} - \frac{{(Z - X)^3 }}{{c^6 }} \\ \\ (Z^2 + ZX + X^2 )c^6 = (Z - X)^2 (c^6 - 3c^2 + 3c^2 - 1) \\ \\ \\ (Z^2 + ZX + X^2 )c^6 = (Z - X)^2 (c^2 - 1)^3\qquad (12) \\ \end{array}$

С учетом условия четности получаем в (12) в левой части

$(Z^2 + ZX + X^2 )c^6 $ - нечетное число.

В правой части

$(Z - X)^2 (c^2 - 1)^3$ - четное число.

Равенство (12) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.

2 вариант:

$f > 1; (Z - X) < c^3\qquad (13)$

Тогда

$\begin{array}{l} (Z - X) = \frac{a}{b}c \\ \\ c = \frac{{b(Z - X)}}{a}\qquad (14) \\ \end{array} $

Где $a,b \in N; a \ne b; a,b$ - нечетные числа.

Подставим (14) в (9)

$\begin{array}{l} (Z - X)(Z^2 + ZX + X^2 ) = (Z - X)^3 - 3(Z - X)^2 \frac{{b(Z - X)}}{a} + 3(Z - X)\frac{{b^2 (Z - X)^2 }}{{a^2 }} - \frac{{b^3 (Z - X)^3 }}{{a^3 }} \\ \\ (Z^2 + ZX + X^2 )a^3 = (Z - X)^2 (a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3 ) \\ \\ \\ (Z^2 + ZX + X^2 )a^3 = (Z - X)^2 (a - b)^3\qquad (15) \\ \end{array}$

Получаем 2 подварианта.

1 подвариант:

$(Z - X) < c \Rightarrow a < b\qquad (16) $

С учетом условия четности $Z$ получаем в (15) в левой части:

$(Z^2 + ZX + X^2 )a^3$- положительное нечетное число.

В правой части:

$(Z - X)^2 (a - b)^3 $ - отрицательное число.

Равенство (15) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.

2 подвариант:

$(Z - X) > c \Rightarrow a > b\qquad (17)$

С учетом условия четности $Z$ получаем в (12) в левой части

$(Z^2 + ZX + X^2 )a^3 $ - нечетное число.

В правой части

$(Z - X)^2 (a - b)^3 $ - четное число.

Равенство (15) и соответственно равенство (1) не выполняются при заданных условиях.
Что и требовалось доказать.
Вывод 1: Доказано, что уравнение $X^3 + Y^3 = Z^3 $ не имеет решения в натуральных числах, при условии: $X,Y,Z \in N;X,Y,Z$ - взаимно простые числа.

Аналогично доказывается для любых нечетных степеней.

Вывод 2: Доказано, что уравнение $X^{2n + 1} + Y^{2n + 1} = Z^{2n + 1}$
не имеет решения в натуральных числах, при условии:
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z$ - взаимно простые числа.

[venco]

Belfegor в сообщении #625802 писал(а):

Тогда

$\begin{array}{l} (X + Y) = \frac{t}{m}k \\ \\ k = \frac{{m(X + Y)}}{t}\qquad(5) \\ \end{array}$

Где $m,t \in N; t > m; m,t - $нечетные числа.

Почему нечётные?

[Belfegor]

venco в сообщении #625809 писал(а):

Почему нечётные?

Уважаемый venco!
Потому что $(X + Y)$- нечетное число и $k$ - нечетное число и эти числа кратны между собой.

[Руст]

а $m$ четное.

[AKM]

Belfegor в сообщении #625802 писал(а):

($X + Y) = k^3 $
Тогда

$\begin{array}{l} (X + Y) = k^2 k \end{array}$

Да, трогательная забота о читателе...

[venco]

Belfegor в сообщении #625814 писал(а):

venco в сообщении #625809 писал(а):

Почему нечётные?

Уважаемый venco!
Потому что $(X + Y)$- нечетное число и $k$ - нечетное число

Почему?

[AKM]

Belfegor в сообщении #625814 писал(а):

эти числа кратны между собой.

Это как? 1 и 1? (Ну просто я на математика не учился, только на модератора ).

[Руст]

Ни по какому модулю противоречие не получится. По любому модулю решения этих уравнений имеются. Противоречия получаются при рассмотрении первого случая по модулю $n^2$ только для некоторых простых n, в том числе для 3.

[Belfegor]

AKM в сообщении #625827 писал(а):

Это как? 1 и 1? (Ну просто я на математика не учился, только на модератора ).

Уважаемый AKM!
Ну хоть народ повеселился, а то совсем заскучали
Тему можно закрывать, это, похоже, было самое удивительное доказательство

[AKM]

Не следует своё заскучание распространять на "народ".

Веселение народа не есть цель данного форума. И это уже не первое Ваше $\mathrm{N_2O}$-сообщение.

[Belfegor]

Уважаемые AKM, venco, Руст и другие участники форума! Приношу свои извинения, я ненароком, запутался в чётностях!

[vasili]

Уважаемый Beifegor! Число k в этом случае всегда только четное, так как только одно из взаимно простых чисел X, Y, Z число четное. Vfsili

-- 23.10.2012, 15:08 --

Уважаемый Beifegor! Почему Вы одно и тоже число обозначаете через K и через C?
Число P в (4) и f в (10) не могут равны 1, так как эти числа как минимум произведения двух делителей чисел: в первом случае чисел X и Y, во втором чисел Z и X.
Благодаря формулам Абеля, не трудно показать, что число К равно произведению делителей чисел X,Y и Z и нечетного числа, которое для 1 случая ВТФ кратно показателю степени в квадрате. Vasili