исследование устойчивости

[TRUEMATEMATIK]

стержень одним концом скользит по гладкой вертикальной стенке, другим концом прикреплен к нерастяжимой нити, нить закреплена на стенке в точке С, длина нити L, длина стержня 2l, угол $\Psi$ угол между нитью и стенкой. $\phi$ - между стержнем и стенкой. (см. рисунок). Дан вес mg, действующий в середине стержня.

Я чисто механически (проекции на оси и оценив моменты относительно точки А) нашел соотношение между углами, но меня попросили найти при помощи теоремы Лагранжа, т.е. нужно найти потенциальную энергию и исследовать ее точки эктремума.
Помогите, пожалуйста, найти потенциальную энергию системы.

[мат-ламер]

Тут два угла. Возьмите их из за координаты. Попробуйте найти соотношение, которое их связывает и один угол исключите. (Хотя не обязательно. Соотношение можно учесть с помощью множителей Лагранжа). Выразите через координаты высоту точек $A$ и $B$.

[TRUEMATEMATIK]

соотношение между углами я уже нашел: L*cos(psi) =2*l*sin(phi)
Как я понимаю мы один из углов берем за обобщенную координату, и через него выражаем потенциальную энергию.
соотношение углов в положении равновесия я тоже нашел: tg(phi)=2*tg(psi)

[Pavia]

Работа есть произведение силы на расстояние.
Отсюда вспоминаем, находим потенциальную энергию
$\prod=F*h$ => $\prod=(m*g)*h$
Где
$h=-2*l/2*cos(\phi)$

Для нахождения положения равновесия найдем первую производные от потенциальной энергии и приравняем нулю.
$\frac{d}{dx}(\prod)=0$

Откуда
$\frac{d}{dx}(\prod)=-l*cos(\phi)$
$-l*cos(\phi)=0$
Так как l не может быть равным 0 то получаем
$cos(\phi)=0$
т.е система будет иметь положения равновесия при $\phi=0,180$ градусов и кратным им углам.

Осталось проверить на устойчивость, взяв 2-ую производную от потенциальной энергии.
$\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(\prod))=-l*sin(\phi)$

Подставляем сюда углы полученные на предыдущем шаге.
$-l*sin(\phi)$ будет больше при углах 180+360*k и будет меньше при углах 0+360*k.
Там где производная больше нуля там система устойчива. А где меньше там не устойчива.

[TRUEMATEMATIK]

Слишком просто все получается, разве не существует такого угла(кроме 0 и 180), чтобы система находилась в равновесии? Мне интуитивно кажется, что такой угол должен существовать.

[Munin]

(Оффтоп)

Pavia
Пожалуйста, не обозначайте потенциальную энергию $\prod,$ это оператор произведения! Есть хорошая греческая буква $\Pi$!
Кроме того, произведение не обозначается звёздочкой, если очень надо, то есть \cdot, а если не очень - вообще ничего не пишут.
Частные производные (если они частные) пишутся со значком $\partial.$
$\sin,\cos$ - более заметный шрифт и пробелы от соседних букв.
$\varphi$ - в русских формулах принято использовать этот вариант буквы "фи", мы же не американцы.
Градус можно обозначать так: $180^\circ.$

[ewert]

$U=mg(l\cos\varphi-L\cos\psi);\ \ \ U'_{\varphi}=mg(-l\sin\varphi+L\sin\psi\cdot\psi'(\varphi));$

$L\sin\psi=2l\sin\varphi;\ \ \ L\cos\psi\cdot\psi'(\varphi)=2l\cos\varphi;$

$U'_{\varphi}=mg\left(-l\sin\varphi+\dfrac{L\sin\psi\cdot 2l\cos\varphi}{L\cos\psi}\right)=mgl\cos\varphi(2\tg\psi-\tg\varphi).$

Положение равновесия:

$\sin\psi=\theta s,\ \ \text{где}\ \ s\equiv\sin\varphi,\ \varphi<\dfrac{\pi}2\ \ \text{и}\ \ \theta\equiv\dfrac{2l}{L};$

$2\tg\psi=\tg\varphi;\ \ \ \dfrac{2\theta s}{\sqrt{1-\theta^2s^2}}=\dfrac{s}{\sqrt{1-s^2}};$

$4\theta^2(1-s^2)=1-\theta^2s^2;\ \ \ s=\sin\varphi=\sqrt{\dfrac{4\theta^2-1}{3\theta^2}}=\sqrt{\dfrac{16l^2-L^2}{12l^2}}.$

Равновесие будет, разумеется, неустойчивым, не надо даже считать вторую производную -- достаточно того, что корень для $s^2$ однократен и что при $\varphi\geqslant\frac{\pi}2$ потенциальная энергия откровенно убывает. При этом $\varphi=0$ (и, разумеется, $\varphi=\pi$) -- положения устойчивого равновесия. Однако лишь в том случае, если $2l>\frac{L}2$; в противном случае остаются лишь два положения равновесия: неустойчивого при $\varphi=0$ и устойчивого при $\varphi=\pi$.

[TRUEMATEMATIK]

Спасибо большое, ewert, теперь все встало на свои места, объясните, пожалуйста, почему мы потенциальную энергию берем в таком виде?

[ewert]

TRUEMATEMATIK в сообщении #635210 писал(а):

, почему мы потенциальную энергию берем в таком виде?

Потому, что она такова, зараза: она в однородном поле равна напряжённости, умноженной на полную массу и умноженной на координату центра масс.

Или если по рабоче-крестьянски: потому, что если однородный стержень развернуть вокруг его центра при фиксации положения того центра, то потенциальная его энергия от того, разумеется, не изменится.

[TRUEMATEMATIK]

Я просто не понимал откуда берется 2 слагаемое, сейчас я уже понял, что Вы взяли точку С в качестве начала координат (я сначала подумал, что А). Большое спасибо, очень мне помогли, тему можно считать закрытой.