Сумма знакопеременного гармонического ряда без рядов Тейлора

[mpot]

Здравствуйте.
Пожалуйста, подскажите идею, как доказать, что сумма знакопеременного гармонического ряда равна $\ln 2$, не используя ряды Тейлора.
Заранее спасибо!

[Vince Diesel]

Интегрирование и формула для геометрической прогрессии.

[TOTAL]

$\ln(2n)-\ln(n)$
Оба слагаемых приблизьте кусками знакопостоянного гармонического ряда

[Sonic86]

mpot в сообщении #633716 писал(а):

как доказать, что сумма знакопеременного гармонического ряда равна $\ln 2$, не используя ряды Тейлора.

А что такое $\ln$ тогда?

[Евгений Машеров]

А что мы умеем и знаем, кроме Тейлора? Как определяется логарифм, знаем ли мы экспоненту, можно ли её разложить в ряд?

[TOTAL]

Евгений Машеров в сообщении #634067 писал(а):

А что мы умеем и знаем, кроме Тейлора? Как определяется логарифм, знаем ли мы экспоненту, можно ли её разложить в ряд?

Мы знаем производную от логарифма, поэтому

$$\frac{1}{n+1}+ \cdots + \frac{1}{2n} < \int_1^2\frac{dx}{x} < \frac{1}{n}+ \cdots + \frac{1}{2n-1}$$

Слева как раз стоит знакопеременный гармонический ряд

[cool.phenon]

Проще всего-с помощью рядов Фурье. Надо разложить функцию $\ln \left| \cos \frac{x}{2} \right|$ и подставить 0 в ряд.

[ewert]

TOTAL в сообщении #634110 писал(а):

Слева как раз стоит знакопеременный гармонический ряд

Вы по обыкновению тщательно скрываете свои мысли. Во-первых, там ни слева, ни даже справа не наблюдается ничего знакопеременного -- во всяком случае, в предъявленной записи. Во-вторых (и в главных), даже если какая-то асимптотическая закономерность вдруг и наблюдётся -- из этого ничего не будет следовать, если не проанализировать краевые эффекты, о которых у Вас -- ни гу-гу.

-- Пн окт 22, 2012 18:12:39 --

cool.phenon в сообщении #634171 писал(а):

Проще всего-с помощью рядов Фурье.

Нет, проще всего -- тупо по ряду Тейлора. Но ведь ТС предусмотрительно этот вариант заранее и запретил.

[TOTAL]

ewert в сообщении #634194 писал(а):

Во-первых, там ни слева, ни даже справа не наблюдается ничего знакопеременного -- во всяком случае, в предъявленной записи. Во-вторых (и в главных), даже если какая-то асимптотическая закономерность вдруг и наблюдётся -- из этого ничего не будет следовать, если не проанализировать краевые эффекты, о которых у Вас -- ни гу-гу.

$$L_n=\frac{1}{n+1}+ \cdots + \frac{1}{2n} < \int_1^2\frac{dx}{x} = \ln(2) < \frac{1}{n}+ \cdots + \frac{1}{2n-1}=R_n$$

Во-первых: $L_n=\left(\frac{1}{1}+ \cdots + \frac{1}{2n}\right) -\left(\frac{1}{1}+ \cdots + \frac{1}{n}\right)=\left(\frac{1}{1}+ \cdots + \frac{1}{2n}\right) -2\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \cdots + \frac{1}{2n}\right)$
Во-вторых: $R_n-L_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}$ стремится к нулю с ростом $n$

Замечание: я не отчитываюсь перед кем-то о решении, а даю подсказку для желающих решить, поэтому недостающие гу-гу пишите сами.

[mpot]

Будем считать, что известно:
- Теория пределов для последовательностей и функций в нормальном объеме
- Непрерывность и производная функции
- $e$ как второй замечательный предел или как сумма ряда $1/n!$
- $\ln x$ как функция, обратная к $e^x$
- Азы рядов - мажорантный признак сходимости, геометрическая прогрессия, расходимость гармонического ряда, сходимость дзета-функции Римана, признаки Коши и Даламбера.

Остальное неизвестно:
- все интегралы, в т.ч. интегральный признак сходимости
- разложение функций в ряд Тейлора
- упомянутые ряды Фурье

То есть, нужно обойтись достаточно элементарными средствами:(

[TOTAL]

mpot в сообщении #634525 писал(а):

Будем считать, что известно:
- Непрерывность и производная функции

$$\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}$$

$$\frac{\ln(x_i)-\ln(x_{i}-1/n)}{1/n} = \frac{1}{x_i}+O(1/n), \;\; x_i=1+i/n, \;\; i=1,...,n$$

Если вот это известно, то просуммируйте по всем $i$

[mpot]

TOTAL, я правильно понимаю, что по сути, когда мы суммируем $1/x_i$, это такой интеграл в завуалированной форме?
Хотелось бы обойтись без интеграла совсем.

[TOTAL]

mpot в сообщении #634640 писал(а):

TOTAL, я правильно понимаю, что по сути, когда мы суммируем $1/x_i$, это такой интеграл в завуалированной форме?
Хотелось бы обойтись без интеграла совсем.

Нет, я понятия не имею, что такое интеграл, и здесь это понятие не использую.