Интерпретации кольца, группы, поля

[dmd]

Прошу форумчан всеми возможными способами пояснить, почему кольцо названо кольцом, группа - группой, поле - полем. Не определениями, а именно любыми метафорами и интерпретациями, какие только Вам известны.

Someone в сообщении #633462 писал(а):

Не путайте геометрическую прямую с полем действительных чисел, которое называют "числовой прямой" по достаточно сложным причинам.

Трактуя буквально термин "поле", я могу представить поле комплексных чисел, но поле действительных чисел моим восприятием, к сожалению, не "осязается". Поэтому и завёл эту тему, возможно она будет интересна.

[alcoholist]

Интересный вопрос!

Легче всего -- про группу, мне кажется. Этот объект мог бы называться "семья", или "коллектив")

[VIP]

Насколько я помню, все по историческим причинам.
Галуа в своих работах про корни многочленов использовал описание "они группируются в ...", так получился термин группа.
Наверное что-то подобное было и про другие термины.

-- 21.10.2012, 14:26 --

Возможно, термин кольцо впервые появился из описания конечных колец, когда они составляли конечный период, т.е. кольцо вычетов по модулю натурального числа n - которое кажется было исторически первым примером исследования кольца как кольца и выделения его в самостоятельное понятие.

[Ribocyte]

А про тело может кто-нибудь сказать?

[alcoholist]

Ribocyte в сообщении #633617 писал(а):

А про тело может кто-нибудь сказать?

wiki писал(а):

In 1871, Richard Dedekind introduced, for a set of real or complex numbers which is closed under the four arithmetic operations, the German word Körper, which means "body" or "corpus" (to suggest an organically closed entity)

[VIP]

Вообще, искать смысл в этих названиях не имеет никакого смысла. Все названиям произошли по историческим причинам, которые были разными в разных традициях.
Например, в русской традиции группоид называется группоидом (по смыслу), а вот в англоязычной почему-то магмой. Видимо, какая-то левая пятка какого-то ихнего профессора захотела добавить поэзии. Физика так та вся пронизана такими названиями (кварки, ароматы,....), мне кажется что термин поле в математике произошел из физики. Большинство названий есть обозначения той или иной собирательности, например термин тело, в оригинале видимо был corpus как например "корпус текстов".
Самое сложное что традиции разные и английские обозначения очень сильно отличаются от русских, и это вызывает трудности у меня лично.

[alcoholist]

VIP в сообщении #633643 писал(а):

искать смысл в этих названиях не имеет никакого смысла

этимология интересна

[Ribocyte]

По поводу тела - да, комплексные числа конечно образуют тело, хотя и коммутативное, то есть поле. Я просто надеялся на пример некоммутативного тела. Выходит - чаще дело случая. Редко, когда бывают остроумные названия.

[theambient]

Ribocyte в сообщении #633648 писал(а):

По поводу тела - да, комплексные числа конечно образуют тело, хотя и коммутативное, то есть поле. Я просто надеялся на пример некоммутативного тела. Выходит - чаще дело случая. Редко, когда бывают остроумные названия.

Если разобраться в этимологии - многое становится понятнее, например, идеал кольца я понимаю в том смысле, что к нему, не алгебраическому, а бытейскому идеалу, все стремятся и хотят оным идеалом стать (я пока верю в человека).

Потенциальное поле я представляю себе как поле для гольфа, пока не представил - не понимал, как может быть векторное поле связанно со скалярным $V = - \nabla u$.

-- Вс окт 21, 2012 16:54:10 --

цитата к тому, что остроумные названия все же есть и они помогают, по крайней мере мне.

[Руст]

theambient в сообщении #633655 писал(а):

Если разобраться в этимологии - многое становится понятнее, например, идеал кольца я понимаю в том смысле, что к нему, не алгебраическому, а бытейскому идеалу, все стремятся и хотят оным идеалом стать (я пока верю в человека).

Идеалы пошли от Куммера, как "идеальные" делители, которых может и не быть в кольце, тем не менее восстанавливают однозначное разложение на множители.

[theambient]

Руст в сообщении #633658 писал(а):

Идеалы пошли от Куммера, как "идеальные" делители, которых может и не быть в кольце, тем не менее восстанавливают однозначное разложение на множители.

значит я неправильно себе объяснил, но такая вольная интерпритация для меня крайне наглядна: идеал притягивает к себе все до чего только может дотянуться, эдакая "ненасытная утроба": $\forall a \in K, b \in I \, \, ab \in I$

[VIP]

Например для меня было бы лучше еслиб все эти понятия выражались как набор свойств. Типа НОД -наибольший общий делитель.
Например, группа это обратимая ассоциативная с нейтральным элементом с одной бинарной операцией множество, что конечно длинно, но ввести обычное сокращение ОАНОБОМ Моноид - просто АНОБОМ. и тд.
Идеал - неподвижное подмножество, НПМ. Нормальный делитель - коммутативное подмножество, КПМ.
Все равно потом к ним в теории добавляются слова определяющие и расширяющие эти понятия, типа абелев=коммутативный и тд. А когда только учишь эти понятия и читаешь про них то такие сокращения очень полезны, так как позволяют вспомнить точный набор свойств, так как при изучении их еще плохо помнишь. Да и с терминологией тогда будет однозначность, но исторические причины всегда превалировали над удобством изучения.
Вот такое мое мнение.

[Ribocyte]

VIP в сообщении #633782 писал(а):

Например для меня было бы лучше еслиб все эти понятия выражались как набор свойств. Типа НОД -наибольший общий делитель.
Например, группа это обратимая ассоциативная с нейтральным элементом с одной бинарной операцией множество, что конечно длинно, но ввести обычное сокращение ОАНОБОМ Моноид - просто АНОБОМ. и тд.
Идеал - неподвижное подмножество, НПМ. Нормальный делитель - коммутативное подмножество, КПМ.
Все равно потом к ним в теории добавляются слова определяющие и расширяющие эти понятия, типа абелев=коммутативный и тд. А когда только учишь эти понятия и читаешь про них то такие сокращения очень полезны, так как позволяют вспомнить точный набор свойств, так как при изучении их еще плохо помнишь. Да и с терминологией тогда будет однозначность, но исторические причины всегда превалировали над удобством изучения.
Вот такое мое мнение.

Что-то вроде эсперанто для математиков. Химики давно решили аналогичную проблему - создали номенклатуру IUPAC. Кто знает, может и найдутся энтузиасты лет через....

-- 22.10.2012, 09:22 --

theambient в сообщении #633666 писал(а):

"ненасытная утроба"

Стоит запомнить. Коллекционирую образы математических понятий. Неплохо делиться такими вещами.
Множество - это содержимое мешка, к примеру, которое может быть и пустым.

[dmd]

Мне сложнее всего с кольцом. То, что остатки по модулю в некоторых случаях периодичны, у меня вызвало ассоциацию с витком винтовой лестницы. В этом случае период - один виток. Пусть он же - кольцо. Это легко сопоставить. Но это какой-то очень частный случай. Что такое кольцо в более широком смысле?

[Sonic86]

Ribocyte в сообщении #633947 писал(а):

Химики давно решили аналогичную проблему - создали номенклатуру IUPAC. Кто знает, может и найдутся энтузиасты лет через....

Есть такие "энтузиасты". Они называются Бурбаки. Все определения у них построены довольно единообразно.