предел функции (Кудрявцев)

[gefest_md]

Из Кудрявцева цитирую (Краткий курс, стр. 103)

Цитата:

Замечание 2. Понятие предела последовательности является частным случаем понятия предела функции, так как последовательность $\left\{x_n\right\}$ есть такая функция $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, что $f(n)=x_n.$ Поэтому

$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}f(n)$$

Действительно, если существует $\lim_{n\to\infty}f(n)=a,$ то ...

И далее, если я правильно понимаю, доказывается, что эти пределы равны. Зачем это нужно? И так не понятно?

[alcoholist]

gefest_md в сообщении #633632 писал(а):

И так не понятно?

если всё понятно, так читайте дальше)

Это же просто "замечание"

[gefest_md]

Я объясняю так. В равенстве

$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}f(n)$$

слева предел последовательности, а справа предел функции. Поэтому надо доказывать.

[alcoholist]

охота доказывать "замечание" - доказывайте:)

[bot]

gefest_md в сообщении #633632 писал(а):

Из Кудрявцева цитирую (Краткий курс, стр. 103)

Цитата:

Действительно, если существует $\lim_{n\to\infty}f(n)=a,$ то ...

И далее, если я правильно понимаю, доказывается, что эти пределы равны. Зачем это нужно? И так не понятно?

Вот чуть больше бы написали, а то не угадывается, какое определение у Кудрявцева взято за основное, а под рукой его у меня нет.
Если по Коши, то продолжение такое:

Цитата:

... $\forall \varepsilon>0\exists n_0 ...$

то есть ровно то, что требуется для выполнения равенства $\lim\limits_{n\to 0}x_n=a$ по определению предела последовательности. В этом случае замечание вроде бы как и не стоит замечать.
Другое дело, если основным взято определение по Гейне, тогда будет так:

Цитата:

... для любой бесконечно большой последовательности $(n_k)$ последовательность $x_{n_k}$ сходится к $a$. Ну раз для любой, то и для последовательности $n_k=k$.

Как видите, пусть маленький и тривиальный шажок, но всё же требуется.

[gefest_md]

bot в сообщении #635262 писал(а):

какое определение у Кудрявцева взято за основное

Действительно, за основное взято определение по Гейне. Далее у Кудрявцева это замечание применяется для доказательства замечательного предела $\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}$.

[bot]

Совершенно верно - хотел даже написать об этом. Из эквивалентности пределов по Коши и по Гейне следует, что из $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ вытекает $\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=a$ для любой последовательности $n_k\rightarrow \infty$, ну и далее разными округленими в основании и в показателе $n_k$ последовательность $\left(1+\frac{1}{n_k}\right)^{n_k}$ зажимается между двумя, сходящимися к $e$. Предел в $-\infty$ сводится к пределу в $+\infty$. Заменой $x=\frac 1t$ получаем второй замечательный в его классическом виде $\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e.$