Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Если уравнение $x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0$, где $n>0$ и $a_i\in \mathbb{Z}$ ($1\leqslant i \leqslant n$) имеет рациональный корень, то этот корень - целое число.

Доказательство: Пусть $x=\frac{k}{l}$ - рациональный корень, причем $\text{gcd}(k,l)=1$
Подставляя в многочлен находим, что:

$$\left(\frac{k}{l}\right)^n+a_1\left(\frac{k}{l}\right)^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\left(\frac{k}{l}\right)+a_n=0$$

$$k^n+a_1k^{n-1}l+\dots+a_{n-1}kl^{n-1}+a_nl^{n}=0$$

$$k^n=-a_1k^{n-1}l-\dots-a_{n-1}kl^{n-1}-a_nl^{n}$$

Так как $l$ делит правую часть, то он должен делить и левую часть, т.е. $l\mid k^n$
Но так как $\text{gcd}(k,l)=1$, то $l\mid k^n$ если $l=1$.
Значит, корень целое число.

Скажите пожалуйста рассуждения, проведенные здесь мною верны?

С уважением, Whitaker.

[g______d]

http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #633327 писал(а):

Но так как $\text{gcd}(k,l)=1$, то $l\mid k^n$ если $l=1$.

Нужно было написать так: "Но так как $\text{gcd}(k,l)=1$, то $l\mid k^n$ только если $l=1$.". Иначе смысл у фразы совершенно иной.

[Whitaker]

nnosipov
Согласен с Вами. Прочитал Ваш вариант и свой. У меня смысл получается совсем другой Спасибо Вам!

[Sonic86]

Стоит еще, наверное, заметить следующий факт:
$\alpha$ - алгебраическое число $\Leftrightarrow\alpha$ - корень некоторого многочлена $a_0x^n+...+a_n=0$.
И
$\alpha$ - целое алгебраическое число $\Leftrightarrow\alpha$ - корень некоторого многочлена $x^n+...+a_n=0$ (т.е. старший коэффициент $a_0=1$).

[Whitaker]

Sonic86
Спасибо!
Не знал о таких вещах

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Sonic86
Это же просто определения алгебраического и целого элем- стоп, "число"?! Так вот почему целые элементы так называют...