2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]
Сообщение21.10.2012, 00:06 
Аватара пользователя
Здравствуйте, уважаемые друзья!

Если уравнение $x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0$, где $n>0$ и $a_i\in \mathbb{Z}$ ($1\leqslant i \leqslant n$) имеет рациональный корень, то этот корень - целое число.

Доказательство: Пусть $x=\frac{k}{l}$ - рациональный корень, причем $\text{gcd}(k,l)=1$
Подставляя в многочлен находим, что:$$\left(\frac{k}{l}\right)^n+a_1\left(\frac{k}{l}\right)^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\left(\frac{k}{l}\right)+a_n=0$$
$$k^n+a_1k^{n-1}l+\dots+a_{n-1}kl^{n-1}+a_nl^{n}=0$$
$$k^n=-a_1k^{n-1}l-\dots-a_{n-1}kl^{n-1}-a_nl^{n}$$
Так как $l$ делит правую часть, то он должен делить и левую часть, т.е. $l\mid k^n$
Но так как $\text{gcd}(k,l)=1$, то $l\mid k^n$ если $l=1$.
Значит, корень целое число.

Скажите пожалуйста рассуждения, проведенные здесь мною верны?

С уважением, Whitaker.

 
 
 
 Re: Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]
Сообщение21.10.2012, 01:03 
Аватара пользователя
http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem

 
 
 
 Re: Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]
Сообщение21.10.2012, 07:02 
Whitaker в сообщении #633327 писал(а):
Но так как $\text{gcd}(k,l)=1$, то $l\mid k^n$ если $l=1$.
Нужно было написать так: "Но так как $\text{gcd}(k,l)=1$, то $l\mid k^n$ только если $l=1$.". Иначе смысл у фразы совершенно иной.

 
 
 
 Re: Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]
Сообщение21.10.2012, 12:17 
Аватара пользователя
nnosipov
Согласен с Вами. Прочитал Ваш вариант и свой. У меня смысл получается совсем другой :-) Спасибо Вам!

 
 
 
 Re: Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]
Сообщение21.10.2012, 12:33 
Стоит еще, наверное, заметить следующий факт:
$\alpha$ - алгебраическое число $\Leftrightarrow\alpha$ - корень некоторого многочлена $a_0x^n+...+a_n=0$.
И
$\alpha$ - целое алгебраическое число $\Leftrightarrow\alpha$ - корень некоторого многочлена $x^n+...+a_n=0$ (т.е. старший коэффициент $a_0=1$).

 
 
 
 Re: Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]
Сообщение21.10.2012, 13:17 
Аватара пользователя
Sonic86
Спасибо!
Не знал о таких вещах :-(

 
 
 
 Re: Интересная теорема о корне многочлена [Теория чисел]
Сообщение21.10.2012, 13:31 

(Оффтоп)

Sonic86
Это же просто определения алгебраического и целого элем- стоп, "число"?! Так вот почему целые элементы так называют...

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group