2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение20.10.2012, 17:20 
Добрый день. Попалась вот такая задача
$f(0, \infty)\to(0, \infty)$
$x_{1}x_{2}\ldots x_{2k}=1$
Найти все такие функции, что
$$\frac{f(x_{1})+ f(x_{2})} {x_{1}+x_{2}}\cdot \frac{f(x_{3})+f(x_{4})} {x_{3}+x_{4}}\cdot \ldots \cdot\frac{f(x_{2k-1})+f(x_{2k})} {x_{2k-1}+x_{2k}}=1$$.
Мой прогресс:
Нашла 2 функции: $ f(x)=x, f(x)=\frac1 x $
И доказала что
$ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$, (*)
$ f(x)+ f(\frac1 x)=x+\frac1 x$
$ f(1)= 1$

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $?
Я понимаю что скорее всего нет, хотелось бы намёк что с этим делать.....

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение20.10.2012, 17:32 
Аватара пользователя
Наверное, Вы имели в виду \infty $(\infty)$. Попробуйте исправить. И вообще, понятнее напишите ту фразу в начале.

-- 20 окт 2012, 18:45 --

Олимпиада закончилась?

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение20.10.2012, 17:51 
да, занимаюсь с племянником по прошлому году

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 15:01 
$k \geq 2$?
Если да, то, полагая $x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=1/(xy)$ и $x_4,...,x_{2k}$ равными 1 и пользуясь тождеством $f(x)+f(1/x)=x+1/x$, приходим к тому, что $f(x) \in \left\{ x,1/x \right\}$ для любого $x$. Дальше подставновкой необходимо выяснить какие из этих функций удовлетворяют тождеству. У меня, если не ошибся, получилось, что только $f(x)=x$.

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 15:49 
Mikhail Sokolov в сообщении #633606 писал(а):
У меня, если не ошибся, получилось, что только $f(x)=x$.


чем вас не устраивает решение $f(x)=1/x$?

Mikhail Sokolov в сообщении #633606 писал(а):
$k \geq 2$?
Если да, то, полагая $x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=1/(xy)$ и $x_4,...,x_{2k}$ равными 1


2) Что нам дает эта подстановка?

$$\frac{f(x)+ f(y)} {x+y}\cdot \frac{f(\frac1 {xy})+1} {\frac1 {xy}+1}=1$$.

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 16:31 
Аватара пользователя
Вот это ещё попробуйте
$$\frac{f(x)+ f(x)} {x+x}\cdot \frac{f(1/x)+f(1/x)} {1/x+1/x}=1$$

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 16:32 
Да, что-то я намудрил. 1) $f(x)=1/x$ - тоже решение. 2) И подстановка не та.
Возьмем $x_1=x$, $x_2=1$, $x_3=1/x$, $x_4=1,...,x_{2k}=1$. Далее воспользовавшись тождеством $f(x)+f(1/x)=x+1/x$ (*), получим $f(1/x)=1/f(x)$ (**). Используя (**) в (*), получим, что $f(x) \in \left\{ x,1/x \left\}$.

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 16:37 
TOTAL в сообщении #633640 писал(а):
Вот это ещё попробуйте
$$\frac{f(x)+ f(x)} {x+x}\cdot \frac{f(1/x)+f(1/x)} {1/x+1/x}=1$$


Получается
$ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$, (*)

Повторюсь

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $?

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 16:44 
Аватара пользователя
AlinkoMalinko в сообщении #633644 писал(а):
$ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$, (*)

Повторюсь

Могу ли я на основании (*) утверждать что $ f(x)= x^a $?
А что здесь утверждается при неопределенном $a$?

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 17:11 
Ну, из $ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$ следует что $ f(x)= x^a $ или нет? (меня третий день интересует только этот вопрос)

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 17:13 
Не следует.

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 17:19 
Аватара пользователя
AlinkoMalinko в сообщении #633669 писал(а):
Ну, из $ f(x)= f^{-1}(\frac1 x)$ следует что $ f(x)= x^a $ или нет?

Невозможно ответить, т.к. $a$ не определено.

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 17:33 
Любое действительное число (то что такая функция подходит, понятно, а почему только она?)

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 17:38 
Аватара пользователя
Если любое действительное, то странно что спрашиваете, ведь Mikhail Sokolov показал выше, что для каждого конкретного $x$ верно либо $f(x)=x$, либо $f(x)=1/x.$ Осталось показать, что либо для всех $x$ верно $f(x)=x$, либо для всех $x$ верно $f(x)=1/x$

 
 
 
 Re: Найти функцию (школьные олимпиады)
Сообщение21.10.2012, 17:41 
Mikhail Sokolov в сообщении #633641 писал(а):
Да, что-то я намудрил. 1) $f(x)=1/x$ - тоже решение. 2) И подстановка не та.
Возьмем $x_1=x$, $x_2=1$, $x_3=1/x$, $x_4=1,...,x_{2k}=1$. Далее воспользовавшись тождеством $f(x)+f(1/x)=x+1/x$ (*), получим $f(1/x)=1/f(x)$ (**). Используя (**) в (*), получим, что $f(x) \in \left\{ x,1/x \left\}$.


Извините если туплю, за 21 год первый функционал, $f(x)+1/f(x)=x+1/x$, хорошо, почему мы можем утверждать что $f(x) \in \left\{ x,1/x \left\}$

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group