Вероятность обнаружения значения импульса в элементе объема

[Sergey K]

К сожалению, не приходилось иметь дела с такими расчетами, однако надо разобраться.

Цитата:

Есть некий блок из N связанных атомов, рассмотрим вероятность передачи ему импульса P. Каждый атом получает импульс q, равновероятный по направлению и независимый от других q. Тогда вероятность обнаружить импульс P, являющийся суммой всех векторов q в элементе объема dp вокруг p равна:

$W_n(p)dp = dp \int \int ... \int \frac {d\Omega_q_1} {4 \pi} \frac {d\Omega_q_2} {4 \pi} ... \frac {d\Omega_q_n} {4 \pi} \times \delta (\sum^{n}_{i=1} {q_i-p}) = dp \int \int ... \int \frac {d\Omega_q_1} {4 \pi} \frac {d\Omega_q_2} {4 \pi} ... \frac {d\Omega_q_n} {4 \pi} \frac {1} {2 \pi^3} \times \int dr \exp [-i(\sum^{n}_{i=1} {q_i-p} r)] $

где $\Omega_q_n$ - угол вектора q в сферической системе координат. Очевидна, вероятность нормирована. q одинаковы по длине.

Итак, собственно надо разобраться откуда это взялось. Если можете посоветовать учебник, где разбираются подобные вещи, буду благодарен. Дело как я понимаю, происходит в пространстве импульсов. До сего момента дела с ним не имел, и несколько в оторопи.

[Munin]

Пространство импульсов - по сути, такое же, как и обычное координатное. Нормированное, векторное. Вся трудность - представить себе нечто аналитически-геометрическое в многомерном пространстве.

В данном случае, известна функция распределения вероятности импульса для каждого отдельного атома. Нужно понять, как выглядит функция распределения в пространстве всех импульсов, и из неё вычислить функцию вероятности суммарного импульса. Задача математическая, состоит в вычислении свёрток...

[Sergey K]

ага, функция распределения имеет вид:

$F(x) = \frac {dP(x)} {dx}$

вектор импульса направлен случайно и не зависимо от других.
1. Вероятность найти его в любом интервале $d\Omega$ будет одинаковой, и следовательно, функция распределения $F(x)=const$.
2. Тогда, в соответствии с условием нормировки \int_{a}^{b} f(x)dx = 1 имеет выражение для функции распределения в интервале значений от а до b: $F(x)=\frac {1}{b-a}$.
3. Поскольку дело в сферической системе координат, $b-a=2\pi$. Ничто не мешает вектору крутится как угодно.
4. Однако, нам нужен еще и второй угол для задания вектора, который статистический не зависит от первого. Значит, можно записать: $F(\Omega_1,\Omega_2 )=\frac {1}{(b_1-a_1)(b_2-a_2)}=\frac {1}{4\pi}$ Недаром сказано, что $\Omega_q_i$ - углы вектора в сферической СК.
5. Положение вектора определяется заданием ещё и его длиной. Длина так же не зависит от его углов, следовательно, опять должны воспользоваться $f(x_1,x_2)=f(x_1)f(x_2)$ Тут и вступает дело свертка.
6. $\delta$ - мы же в элементе объема ищем, а не точное совпадение. Нам нужно, чтобы разность между q и p укладывалось в этот объем.
7. А теперь вспоминаем, что вероятности независимых событий перемножаются. Ну, что и наблюдаем.

Осознаю, что 5-6 смутно выражено, но как по другому обосновать не могу. Вот и получается у нас первое выражение. Это мы еще не знаем, что q одинаковые, предположим это позже. А вот вынос $\frac {1} {2\pi^3}$ при дальнейшем преобразовании вгоняет меня в ступор. совершенно не могу предположить, откуда оно там берется.

[espe]

Sergey K в сообщении #632390 писал(а):

6. $\delta$ - мы же в элементе объема ищем, а не точное совпадение. Нам нужно, чтобы разность между q и p укладывалось в этот объем.

$\delta$-функция как раз и говорит о точном совпадении: сумма всех $q_i$ в точности равно $p$.

Sergey K в сообщении #632390 писал(а):

А вот вынос $\frac {1} {2\pi^3}$ при дальнейшем преобразовании вгоняет меня в ступор. совершенно не могу предположить, откуда оно там берется.

Это берётся из того, что $\delta$-функцию записывают через экспоненту $\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{ipx}dp$ --- это в одномерном случае. В трёхмерном будет соответственно $\frac{1}{(2\pi)^3}$ и тройной интеграл.

[Sergey K]

спасибо, получилось!