На наклонную плоскость падает мячик

[larkova_alina]

С высоты $H$ на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, свободно падает мяч и упруго отражается с той же по модулю скоростью. Найдите расстояние от места первого соударения до второго; затем от второго до третьего и т.д.
Ответ: $l_1=8H\sin \alpha$ , а далее $l_1:l_2:l_3...=1:2:3...$
Задачу нужно решить чисто кинематическим способом. Законы сохранения использовать нельзя!
Мое решение:
Поместим начало системы координат в точку в которую мяч ударится 1-й раз. Ось y направим вертикально вверх, а ось x так, чтобы движения мячика происходило в плоскости xy.
Уравнение траектории мячика после 1-го удара (и до 2-го удара) будет таким: $y=x\ctg{2\alpha}-\frac{gx^2}{2V_o^2\sin^22\alpha}.$
Проекция плоскости на плоскость xy будет прямой уравнение которой $y=-x\tg \alpha.$
В момент удара мячика о плоскость траектория мячика и прямой пересекаются. Поэтому приравниваем правые части уравнений.
В итоге получается, что координата x второго соударения мячика с плоскостью равна $x_1=4H\sin^2 2\alpha (\ctg 2\alpha+\tg \alpha). $
Расстояние между 1-м и 2-м соударением равно $l_1=\frac{x_1}{\cos\alpha}=\frac{4H\sin^2 2\alpha}{\cos\alpha}(\ctg 2\alpha+\tg \alpha).$
Мой ответ меня совсем не радует. Он ужасен, хотя для частного случая он дает верный ответ.
Вопрос, как решить задачу, чтобы получить нормальный ответ, который приведен в учебнике?

[Alexandr007]

larkova_alina в сообщении #632508 писал(а):

как решить задачу, чтобы получить нормальный ответ, который приведен в учебнике?

Попробуйте разложить ускорение свободного падения на компоненты - параллельную и перпендикулярную плоскости.

[larkova_alina]

Alexandr007 в сообщении #632600 писал(а):

larkova_alina в сообщении #632508 писал(а):

как решить задачу, чтобы получить нормальный ответ, который приведен в учебнике?

Попробуйте разложить ускорение свободного падения на компоненты - параллельную и перпендикулярную плоскости.

А что это даст?
У меня есть еще вопрос поважнее. Как установить, что $l_1:l_2:l_3...=1:2:3...?$ Вот тут у меня вообще ничего не получается.

[Alexandr007]

larkova_alina в сообщении #632614 писал(а):

А что это даст?

1. Будет понятно что высота подскока и время между соударениями постоянно.
2. Вдоль плоскости движение равноускоренное.

[larkova_alina]

Alexandr007, спасибо, разобралась.

[gris]

Если в Вашей тригонометрии избавиться от котангенсов и двойных углов, то и получится в точности удвоенный синус.

[larkova_alina]

gris в сообщении #632717 писал(а):

Если в Вашей тригонометрии избавиться от котангенсов и двойных углов, то и получится в точности удвоенный синус.

Да, я это уже сделала.