Если и строить интервал для теоретической вероятности, то либо односторонний, либо двусторонний вдвое большего уровня доверия, потому как гипотеза односторонняя.
Во второй задаче, если

- вероятность
не иметь детей, соответственно

- доля таковых в выборке, и гипотезы

и

, критерий должен принимать основную гипотезу, если

, и альтернативу, когда

, причём

таково, чтобы вероятность ошибки первого рода была примерно равна

. Ошибка первого рода есть вероятность при

получить в идеальной (а не реальной) выборке

. Самое большое значение эта вероятность ошибки достигает при нижней грани всех возможных

, т.е. при

. Поэтому нам нужно, чтобы

.
По интегральной теореме Лапласа величина

имеет распределение, близкое к стандартному нормальному. Чтобы вероятность неравенства

при

примерно равнялась

, нужно, чтобы

.
Окончательно получаем критическую область

- в этой области принимается альтернатива

.
Квантиль уровня

для нормального распределения есть

. Вот и сравните эту область с доверительным интервалом.
Можно было при таком небольшом числе испытаний воспользоваться Excel для нахождения границы

, для которой

. Просто подбором находим такое число успехов С, что BINOMRASP(

;

;

;

) чуть превышает

(это вероятность события

), а в точке

уже меньше

. Должно получиться

. Почти то же самое, но проще.
А распределению Стьюдента тут неоткуда взяться.