точка в силовом поле

[Oleg Zubelevich]

Материальная точка движется в пространстве под действием силового поля. Поле образовано суперпозицией поля притягивающего центра (сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра) и однородного силового поля.
Исследовать устойчивость равномерного движения точки по окружности.

[Утундрий]

Задача Лагранжа-Салерье-Сен-Жермена-Мещерского-Белецкого? Параболоидальные координаты в помощь...

[Oleg Zubelevich]

параболические координаты вводить необязательно т.е. интегрировать задачу не требуется

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #632335 писал(а):

параболические

Параболоидальные.

Oleg Zubelevich в сообщении #632335 писал(а):

интегрировать задачу не требуется

Это точно, ее уже раз пять проинтегрировали...

[Oleg Zubelevich]

ну а на счет устойчивости таки как?

[mihiv]

Движение по окружности неустойчиво.

Будем рассматривать движение в системе отсчета,которая равномерно вращается с произвольной угловой скоростью $\omega $ вокруг оси, проходящей через притягивающий центр параллельно вектору силы однородного поля.
Потенциальная энергия точки в этой СО равна (в сферической системе координат):

$$U(r,\theta )=-\frac 12m\omega ^2\sin ^2\theta-\frac kr-Fr\cos \theta. $$

Координаты стационарной точки потенциальной энергии находим из системы уравнений:

$$U_r=0,U_{\theta }=0.$$

Эта система имеет решение для любых значений $\omega $:

$$r_0=\left (\dfrac k{m\omega ^2}\right )^{\frac 13},\cos \theta _0=\dfrac {Fr_0^2}k.$$

Если мат. точка находится в стационарной точке потенциальной энергии и скорость мат. точки равна 0,то это соответствует равномерному движению по окружности с угловой скоростью $\omega $ в исходной инерциальной системе.
Найдем вторую производную потенциальной энергии:

$$U_{rr}=-m\omega ^2\sin ^2\theta _0-\dfrac {2k}{r_0^3}<0.$$

Это означает,что круговая траектория неустойчива.

[Oleg Zubelevich]

может и так, но тут не хватает подробностей, подтвердится ли этот ход доказательства при проработке подробностей не знаю

[mihiv]

Oleg Zubelevich в сообщении #634445 писал(а):

но тут не хватает подробностей

А какие нужны подробности ? Нужно сделать, правда, одну поправку: т.к. $\cos \theta _0\leq 1$, то из выражений для $r_0,\cos \theta _0$ получим, что стационарные точки потенциальной энергии,соответствующие движению по окружности, существуют не для всех значений $\omega $,а лишь при выполнении неравенства:

$$\omega \geq \dfrac {F^{\frac 32}}{mk^{\frac 12}}$$

[Oleg Zubelevich]

mihiv в сообщении #634832 писал(а):

А какие нужны подробности ?

какой теоремой о неустойчивости Вы пользуетесь?

[mihiv]

Достаточно разложить потенциальную энергию в окрестности стационарной точки в ряд:

$$U(r,\theta )\approx U^{(0)}+\frac 12\left (U_{rr}^{(0)}(\delta r)^2+2U_{r\theta }^{(0)}\delta r\delta \theta+U_{\theta \theta }^{(0)}(\delta \theta )^2\right )}$$

Где индекс 0 показывает, что значение берется в стационарной точке.Т.к. $U_{rr}<0$,то, например, при $\delta \theta =0$ и $\delta r\ne 0$, видим, что в стационарной точке нет локального минимума.

[Oleg Zubelevich]

Сформулируйте теорему о неустойчивости которой Вы пользуетесь

[mihiv]

Не буду называть это теоремой, скорее это просто проверка необходимого условия устойчивости по аналогии с одномерным случаем: вторые частные производные потенциальной энергии в стационарной точке (несмешанные) по обобщенным координатам должны удовлетворять неравенствам $U_{qq}\geq 0$.

[Oleg Zubelevich]

mihiv в сообщении #634955 писал(а):

необходимого условия устойчивости по аналогии с одномерным случаем: вторые частные производные потенциальной энергии в стационарной точке (несмешанные) по обобщенным координатам должны удовлетворять неравенствам $U_{qq}\geq 0$.

не вторые частные производные, а матрица вторых производных неотрицательно определена -- иначе это просто бессмыслица. Но и это условие , вообще говоря, не является необходимым: см. гироскопическая стабилизация. Нужны аккуратные рассуждения, вопрос неочевиден.