2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 точка в силовом поле
Сообщение17.10.2012, 20:43 
Материальная точка движется в пространстве под действием силового поля. Поле образовано суперпозицией поля притягивающего центра (сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра) и однородного силового поля.
Исследовать устойчивость равномерного движения точки по окружности.

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение17.10.2012, 23:21 
Аватара пользователя
Задача Лагранжа-Салерье-Сен-Жермена-Мещерского-Белецкого? Параболоидальные координаты в помощь...

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение18.10.2012, 07:41 
параболические координаты вводить необязательно т.е. интегрировать задачу не требуется

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение18.10.2012, 18:36 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #632335 писал(а):
параболические

Параболоидальные.
Oleg Zubelevich в сообщении #632335 писал(а):
интегрировать задачу не требуется

Это точно, ее уже раз пять проинтегрировали...

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение20.10.2012, 18:55 
ну а на счет устойчивости таки как? :wink:

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение22.10.2012, 11:46 
Движение по окружности неустойчиво.

Будем рассматривать движение в системе отсчета,которая равномерно вращается с произвольной угловой скоростью $\omega $ вокруг оси, проходящей через притягивающий центр параллельно вектору силы однородного поля.
Потенциальная энергия точки в этой СО равна (в сферической системе координат):$$U(r,\theta )=-\frac 12m\omega ^2\sin ^2\theta-\frac kr-Fr\cos \theta. $$Координаты стационарной точки потенциальной энергии находим из системы уравнений:$$U_r=0,U_{\theta }=0.$$Эта система имеет решение для любых значений $\omega $:$$r_0=\left (\dfrac k{m\omega ^2}\right )^{\frac 13},\cos \theta _0=\dfrac {Fr_0^2}k.$$
Если мат. точка находится в стационарной точке потенциальной энергии и скорость мат. точки равна 0,то это соответствует равномерному движению по окружности с угловой скоростью $\omega $ в исходной инерциальной системе.
Найдем вторую производную потенциальной энергии:$$U_{rr}=-m\omega ^2\sin ^2\theta _0-\dfrac {2k}{r_0^3}<0.$$Это означает,что круговая траектория неустойчива.

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение22.10.2012, 21:26 
может и так, но тут не хватает подробностей, подтвердится ли этот ход доказательства при проработке подробностей не знаю

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение23.10.2012, 18:20 
Oleg Zubelevich в сообщении #634445 писал(а):
но тут не хватает подробностей

А какие нужны подробности ? Нужно сделать, правда, одну поправку: т.к. $\cos \theta _0\leq 1$, то из выражений для $r_0,\cos \theta _0$ получим, что стационарные точки потенциальной энергии,соответствующие движению по окружности, существуют не для всех значений $\omega $,а лишь при выполнении неравенства:$$\omega \geq \dfrac {F^{\frac 32}}{mk^{\frac 12}}$$

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение23.10.2012, 18:34 
mihiv в сообщении #634832 писал(а):
А какие нужны подробности ?

какой теоремой о неустойчивости Вы пользуетесь?

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение23.10.2012, 19:12 
Достаточно разложить потенциальную энергию в окрестности стационарной точки в ряд:$$U(r,\theta )\approx U^{(0)}+\frac 12\left (U_{rr}^{(0)}(\delta r)^2+2U_{r\theta   }^{(0)}\delta r\delta \theta+U_{\theta \theta }^{(0)}(\delta \theta )^2\right )}$$Где индекс 0 показывает, что значение берется в стационарной точке.Т.к. $U_{rr}<0$,то, например, при $\delta \theta =0$ и $\delta r\ne 0$, видим, что в стационарной точке нет локального минимума.

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение23.10.2012, 19:18 
Сформулируйте теорему о неустойчивости которой Вы пользуетесь

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение23.10.2012, 20:12 
Не буду называть это теоремой, скорее это просто проверка необходимого условия устойчивости по аналогии с одномерным случаем: вторые частные производные потенциальной энергии в стационарной точке (несмешанные) по обобщенным координатам должны удовлетворять неравенствам $U_{qq}\geq 0$.

 
 
 
 Re: точка в силовом поле
Сообщение23.10.2012, 20:40 
mihiv в сообщении #634955 писал(а):
необходимого условия устойчивости по аналогии с одномерным случаем: вторые частные производные потенциальной энергии в стационарной точке (несмешанные) по обобщенным координатам должны удовлетворять неравенствам $U_{qq}\geq 0$.
не вторые частные производные, а матрица вторых производных неотрицательно определена -- иначе это просто бессмыслица. Но и это условие , вообще говоря, не является необходимым: см. гироскопическая стабилизация. Нужны аккуратные рассуждения, вопрос неочевиден.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group