Система (с параметром). Хитрая задача.

[freedom_of_heart]

Найти значения параметра $a$, при которых система имеет единственное решение.

$\begin{cases} x^2+(y-2)^2=\cos(2x)\\ y=x+a \end{cases}$

Попытка

$ x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)$

1) $z(x)=2x^2+2(a-2)x+(a-2)^2$

Вершина параболы $x_0=\dfrac{2-a}{2}$

$z_0=2x_0^2$

А что дальше делать? Очевидно, что единственное решение будет при $a=1$. Есть ли еще? Если нет, то как доказать, что нет? Если есть, то как аргументированно объяснить этот "угаданный" результат?

[_Ivana]

Строите график косинуса и параболы в зависимости от параметра, и показываете при каких случаях они пересекаются в одной точке.

[freedom_of_heart]

_Ivana в сообщении #632172 писал(а):

Строите график косинуса и параболы в зависимости от параметра, и показываете при каких случаях они пересекаются в одной точке.

Спасибо, косинуса-то понятно как график строить. А как узнать -- в какой точке именно будет пересечение? Это будет вершина параболы или не обязательно? Ну построю я 10 парабол при разных значениях параметра, а как узнать координаты точки пересечения?

[freedom_of_heart]

Вот график

[_Ivana]

Хорошо, что график. Я немножко подумал, и пришел к заключению, что условия пересечения (касания) двух гладких функций в одной точке можно записать как систему уравнений: функции в этой точке равны и их производные в этой точке также равны. Получается нелинейная система уравнений относительно $x$ и $a$. Она скорее всего решается аналитически, но я проверил в матлабе - решил численно, график по ссылке http://s61.radikal.ru/i174/1210/b6/84248a246548.jpg

[freedom_of_heart]

Спасибо.

а) $ x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)$

б) $ (2x^2+2(a-2)x+(a-2)^2)'=(\cos(2x))'$

$4x+2(a-2)=-2\sin(2x)$

$\begin{cases} x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)\\ 4x+2(a-2)=-2\sin(2x)\\ \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)\\ 2x+(a-2)=-\sin(2x)\\ \end{cases}$

$(x^2+(x+a-2)^2)^2=(2x+(a-2))^2$

Так?

[_Ivana]

Ага, но решать систему надо относительно обоих переменных, так что последняя система как исходная верна, но последнее уравнение одно ничего не дает, т.к. содержит обе переменные.

UPD кстати да, попытка избавиться от тригонометрии через основное тригонометрическое тождество выполнена с ошибкой, но даже если её выполнить правильно - этого недостаточно, т.к. не избавляет от второй переменной.

[venco]

freedom_of_heart в сообщении #632234 писал(а):

$(x^2+(x+a-2)^2)^2=(2x+(a-2))^2$
Так?

Вот последнее вы как получили?
И вообще, почему бы сделать замену $b=a-2$ и не мучиться.

[freedom_of_heart]

venco в сообщении #632240 писал(а):

Вот последнее вы как получили?
И вообще, почему бы сделать замену $b=a-2$ и не мучиться.

По основному тригонометрическому тождеству. Ок, спасибо, сделаю замену.

-- Ср окт 17, 2012 23:04:37 --

_Ivana в сообщении #632237 писал(а):

Ага, но решать систему надо относительно обоих переменных, так что последняя система как исходная верна, но последнее уравнение одно ничего не дает, т.к. содержит обе переменные.

UPD кстати да, попытка избавиться от тригонометрии через основное тригонометрическое тождество выполнена с ошибкой, но даже если её выполнить правильно - этого недостаточно, т.к. не избавляет от второй переменной.

$\begin{cases} x^2+(x+b)^2=\cos(2x)\\ 2x+b=-\sin(2x)\\ \end{cases}$

$\begin{cases} 2x^2+2bx+b^2=\cos(2x)\\ 2x+b=-\sin(2x)\\ \end{cases}$

А как дальше? Нужно $b$ выразить из второго уравнения и подставить в первое?

$\begin{cases} 2x^2+2bx+b^2=\cos(2x)\\ b=-2x-\sin(2x)\\ \end{cases}$

$2x^2-2(2x+\sin(2x))x+(2x+\sin(2x))^2=\cos(2x)$

$2x^2-4x^2-2x\sin(2x)+4x^2+4x\sin(2x)+\sin^2(2x)=\cos(2x)$

$2x^2+2x\sin(2x)+\sin^2(2x)=\cos(2x)$

$t=2x$

$0,5t^2+t\sin(t)+\sin^2(t)=\cos(t)$

[ИСН]

По-моему, тут не развязывается.

[_Ivana]

Фиг с ним, постройте график, решите численно, найдите корни и вычислите $a$

Только по-моему у вас очередная ошибка в арифметике преобразований

[Shadow]

Производную первой функции (которая от параметра не зависит) приравнять к 1?
$(x+\sin{2x})^2=\cos{2x}-x^2$
Желаю успехов!

[freedom_of_heart]

Shadow в сообщении #632258 писал(а):

Производную первой функции (которая от параметра не зависит) приравнять к 1?
$(x+\sin{2x})^2=\cos{2x}-x^2$
Желаю успехов!

Не очень понимаю --- откуда взялось это уравнение...

-- Ср окт 17, 2012 23:49:40 --

_Ivana в сообщении #632257 писал(а):

Фиг с ним, постройте график, решите численно, найдите корни и вычислите $a$

Только по-моему у вас очередная ошибка в арифметике преобразований

А как я решу численно?

[venco]

freedom_of_heart в сообщении #632241 писал(а):

$0,5t^2+t\sin(t)+\sin^2(t)=\cos(t)$

Вроде правильно, и решение получается, только численное.

[_Ivana]

freedom_of_heart в сообщении #632262 писал(а):

А как я решу численно?

Смотря что у вас есть из программ. Если Матлаб или что-то подобное - то запросто. Даже если Эксель или Калк из Опен офиса, то по моему тоже запросто. Во первых, проверяете функцию на наличие ошибок вывода (у меня большие подозрения что они там есть). Далее отмечаете её четность, монотонность, исследуете, строите график, локализуете область корня. Вы же в чем-то строили ваши графики? Если нет Опен офиса, Экселя, Матлаба, короче ничего кроме интернета - далее любым методом (хоть той же дихотомии) получаете значение корня с любой нужной точностью.

UPD можно в инете поискать сайты с онлайн решением уравнений. Та же Альфа или как её там...