2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 19:57 
Аватара пользователя
Найти значения параметра $a$, при которых система имеет единственное решение.

$\begin{cases}
 x^2+(y-2)^2=\cos(2x)\\
y=x+a
\end{cases}$

Попытка

$ x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)$

1) $z(x)=2x^2+2(a-2)x+(a-2)^2$

Вершина параболы $x_0=\dfrac{2-a}{2}$

$z_0=2x_0^2$

А что дальше делать? Очевидно, что единственное решение будет при $a=1$. Есть ли еще? Если нет, то как доказать, что нет? Если есть, то как аргументированно объяснить этот "угаданный" результат?

 
 
 
 Re: Систему (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 20:02 
Строите график косинуса и параболы в зависимости от параметра, и показываете при каких случаях они пересекаются в одной точке.

 
 
 
 Re: Систему (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 20:08 
Аватара пользователя
_Ivana в сообщении #632172 писал(а):
Строите график косинуса и параболы в зависимости от параметра, и показываете при каких случаях они пересекаются в одной точке.

Спасибо, косинуса-то понятно как график строить. А как узнать -- в какой точке именно будет пересечение? Это будет вершина параболы или не обязательно? Ну построю я 10 парабол при разных значениях параметра, а как узнать координаты точки пересечения?

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 21:38 
Аватара пользователя
Вот график

Изображение

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 21:41 
Хорошо, что график. Я немножко подумал, и пришел к заключению, что условия пересечения (касания) двух гладких функций в одной точке можно записать как систему уравнений: функции в этой точке равны и их производные в этой точке также равны. Получается нелинейная система уравнений относительно $x$ и $a$. Она скорее всего решается аналитически, но я проверил в матлабе - решил численно, график по ссылке http://s61.radikal.ru/i174/1210/b6/84248a246548.jpg

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 21:54 
Аватара пользователя
Спасибо.

а) $ x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)$

б) $ (2x^2+2(a-2)x+(a-2)^2)'=(\cos(2x))'$

$4x+2(a-2)=-2\sin(2x)$

$\begin{cases}
x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)\\
4x+2(a-2)=-2\sin(2x)\\
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2+(x+a-2)^2=\cos(2x)\\
2x+(a-2)=-\sin(2x)\\
\end{cases}$

$(x^2+(x+a-2)^2)^2=(2x+(a-2))^2$

Так?

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 21:58 
Ага, но решать систему надо относительно обоих переменных, так что последняя система как исходная верна, но последнее уравнение одно ничего не дает, т.к. содержит обе переменные.

UPD кстати да, попытка избавиться от тригонометрии через основное тригонометрическое тождество выполнена с ошибкой, но даже если её выполнить правильно - этого недостаточно, т.к. не избавляет от второй переменной.

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 22:00 
freedom_of_heart в сообщении #632234 писал(а):
$(x^2+(x+a-2)^2)^2=(2x+(a-2))^2$
Так?
Вот последнее вы как получили?
И вообще, почему бы сделать замену $b=a-2$ и не мучиться.

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 22:02 
Аватара пользователя
venco в сообщении #632240 писал(а):
Вот последнее вы как получили?
И вообще, почему бы сделать замену $b=a-2$ и не мучиться.


По основному тригонометрическому тождеству. Ок, спасибо, сделаю замену.

-- Ср окт 17, 2012 23:04:37 --

_Ivana в сообщении #632237 писал(а):
Ага, но решать систему надо относительно обоих переменных, так что последняя система как исходная верна, но последнее уравнение одно ничего не дает, т.к. содержит обе переменные.

UPD кстати да, попытка избавиться от тригонометрии через основное тригонометрическое тождество выполнена с ошибкой, но даже если её выполнить правильно - этого недостаточно, т.к. не избавляет от второй переменной.


$\begin{cases}
x^2+(x+b)^2=\cos(2x)\\
2x+b=-\sin(2x)\\
\end{cases}$

$\begin{cases}
2x^2+2bx+b^2=\cos(2x)\\
2x+b=-\sin(2x)\\
\end{cases}$

А как дальше? Нужно $b$ выразить из второго уравнения и подставить в первое?

$\begin{cases}
2x^2+2bx+b^2=\cos(2x)\\
b=-2x-\sin(2x)\\
\end{cases}$

$2x^2-2(2x+\sin(2x))x+(2x+\sin(2x))^2=\cos(2x)$

$2x^2-4x^2-2x\sin(2x)+4x^2+4x\sin(2x)+\sin^2(2x)=\cos(2x)$

$2x^2+2x\sin(2x)+\sin^2(2x)=\cos(2x)$

$t=2x$

$0,5t^2+t\sin(t)+\sin^2(t)=\cos(t)$

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 22:21 
Аватара пользователя
По-моему, тут не развязывается.

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 22:40 
Фиг с ним, постройте график, решите численно, найдите корни и вычислите $a$

Только по-моему у вас очередная ошибка в арифметике преобразований

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 22:40 
Производную первой функции (которая от параметра не зависит) приравнять к 1?
$(x+\sin{2x})^2=\cos{2x}-x^2$
Желаю успехов!

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 22:49 
Аватара пользователя
Shadow в сообщении #632258 писал(а):
Производную первой функции (которая от параметра не зависит) приравнять к 1?
$(x+\sin{2x})^2=\cos{2x}-x^2$
Желаю успехов!


Не очень понимаю --- откуда взялось это уравнение...

-- Ср окт 17, 2012 23:49:40 --

_Ivana в сообщении #632257 писал(а):
Фиг с ним, постройте график, решите численно, найдите корни и вычислите $a$

Только по-моему у вас очередная ошибка в арифметике преобразований


А как я решу численно?

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 22:51 
freedom_of_heart в сообщении #632241 писал(а):
$0,5t^2+t\sin(t)+\sin^2(t)=\cos(t)$
Вроде правильно, и решение получается, только численное.

 
 
 
 Re: Система (с параметром). Хитрая задача.
Сообщение17.10.2012, 23:02 
freedom_of_heart в сообщении #632262 писал(а):
А как я решу численно?
Смотря что у вас есть из программ. Если Матлаб или что-то подобное - то запросто. Даже если Эксель или Калк из Опен офиса, то по моему тоже запросто. Во первых, проверяете функцию на наличие ошибок вывода (у меня большие подозрения что они там есть). Далее отмечаете её четность, монотонность, исследуете, строите график, локализуете область корня. Вы же в чем-то строили ваши графики? Если нет Опен офиса, Экселя, Матлаба, короче ничего кроме интернета - далее любым методом (хоть той же дихотомии) получаете значение корня с любой нужной точностью.

UPD можно в инете поискать сайты с онлайн решением уравнений. Та же Альфа или как её там...

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group