Задачи с матрицами и степенями

[Sirian]

Всегда ли можно построить жорданов базис, содержащий произвольно выбранные базисы в собственных подпространствах?

[нг]

[mod]Не плодите темы без надобности, тем более с неинформативными заголовками. Объединяю.[/mod]

[bot]

Нет, возьмите матрицу, составленную из двух жордановых клеток порядка два и один с одинаковым собственным значением, скажем, 0. Корневой вектор высоты два при умножении на матрицу перейдёт в однозначно определённый с точностью до множителя собственный вектор, который можно не взять в базис (двумерного) собственного подпространства.

[Sirian]

Спасибки... следующая задача:
A^(k+1)=A
(k>0) доказать что матрица A диагонализуема.

[Dandan]

обратите внимание на то, как изменяется жорданова клетка при возведении в степень.

[Sirian]

как оценить изменение ЖК в общем случае?

[bot]

Sirian писал(а):

как оценить изменение ЖК в общем случае?

Что такое общий случай?
Обратите внимание на замечание от Dandan - оно очень даже по существу...
Ну-у-у... предположите, что жорданова форма матрицы содержит хотя бы одну клетку размера более 1х1.
P.S. Аськи у меня нет.

[Sirian]

Dandan писал(а):

обратите внимание на то, как изменяется жорданова клетка при возведении в степень.

так... маленькое уточнение
при возведении в степень чего именно? матрицу в степень? или жк?

[Maximum]

Sirian писал(а):

так... маленькое уточнение
при возведении в степень чего именно? матрицу в степень? или жк?

Разницы нет: при возведении в степень матрицы Вам все равно придется возводить в степень каждую ж.к.

[Sirian]

ну тогда так
пусть была ЖК такая для матрицы А:

L10
0L1
00L

то для A^2
будет:
L^2 2L 1
0 L^2 2L
0 0 L^2

вот... а дальше то че?

Добавлено спустя 19 секунд:

L - это некое собственное значения соответственно

[Brukvalub]

Вот-вот, получается, что степени такой Жордановой клетки снова Жордановой клеткой уже не станут

[Sirian]

т.е. мы получаем что у матрицы n собственных значений кратности 1.
что дальше?

[Brukvalub]

Встречный вопрос: В любом курсе линейной алгебры. тем более на 1-м курсе ВМиК, где Вы и учитесь, доказывают критерий диагонализируемости матрицы лин. оператора в каком-либо базисе. Так как он звучит?

[Sirian]

ну собственно тогда и только тогда когда имеет линейно независимую ситсему n собственных векторов

[Brukvalub]

Вот его-то и проверяйте