Производная элементарной функции и интеграл от последней

[Ktina]

Почему производная элементарной функции -- это всегда элементарная функция, а интеграл от элементарной функции -- не всегда?
И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?
(надеюсь, я верно понимаю, что такое "элементарная функция" -- многочлен, рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические)

[TOTAL]

Ktina в сообщении #631956 писал(а):

И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?

Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?

[Sender]

Ktina в сообщении #631956 писал(а):

Почему производная элементарной функции -- это всегда элементарная функция, а интеграл от элементарной функции -- не всегда?

А почему квадрат целого числа всегда целое, а квадратный корень - не всегда?

TOTAL в сообщении #631964 писал(а):

Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?

Только ещё не забыть, что композиция элементарных функций также является элементарной функцией.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #631964 писал(а):

Ktina в сообщении #631956 писал(а):

И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?

Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?

Их континуум, или даже больше, разве нет?

-- 17.10.2012, 13:12 --

Sender в сообщении #631969 писал(а):

А почему квадрат целого числа всегда целое, а квадратный корень - не всегда?

Потому что не каждое целое число есть квадрат целого числа.

-- 17.10.2012, 13:15 --

Sender в сообщении #631969 писал(а):

Только ещё не забыть, что композиция элементарных функций также является элементарной функцией.

Я просто забыла дописать. Любая функция получаемая посредством конечного числа арифметических операций и композиций элементарных функций, также является элементарной.

[Sender]

Ktina в сообщении #631973 писал(а):

Потому что не каждое целое число есть квадрат целого числа.

Так и здесь - не каждая элементарная функция есть производная элементарной функции. Да вот хоть в вики загляните.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #631973 писал(а):

TOTAL в сообщении #631964 писал(а):

Ktina в сообщении #631956 писал(а):

И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?

Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?

Их континуум, или даже больше, разве нет?

Прямоугольных треугольников тоже континуум, теорему Пифагора надо доказать для каждого, срочно приступайте, работы много.

[Евгений Машеров]

Ну, наверно, надо начать с доказательства того, что для любой "элементарной функции" можно выразить производную в этих же функциях. Определить элементарную функцию, как функцию из конечного списка (полиномы, тригонометрия, логарифм, экспонента...), проверить, что производная от любой функции из списка выражается через функции из этого списка, затем расширить понятие ЭФ на композиции из ЭФ по определённым правилам (сумма, произведение, частное, степенная...) и проверить, что производная от композиции функций явно выражается через эти функции и производные от них... То есть для любой композиции можно "разбирать" её, и рано или поздно дойти до функций из "первоначального списка".
А для интегралов такого простого правила, всегда работающего, нет. Скажем, попробуйте выразить интеграл от f(x)/g(x) через эти функции, интегралы от них или производные. В общем случае не получается, нет простого правила, как, например, для производной от частного.
Можно почитать здесь http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i8126135.pdf.zip
Это популярная (разумеется, предполагающая достаточно высокий уровень знаний, "высокая популяризация") статья В.В.Прасолова.

[Ktina]

Евгений Машеров в сообщении #631999 писал(а):

Можно почитать здесь http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i8126135.pdf.zip
Это популярная (разумеется, предполагающая достаточно высокий уровень знаний, "высокая популяризация") статья В.В.Прасолова.

Отличная книжка, начинаю читать, большое спасибо!

[Евгений Машеров]

Вообще это, http://www.mccme.ru/ место очень богатое и достойное.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я там как-то вроде видел статью про функциональное уравнение на функцию $x\mapsto\int_1^x t^a dt$. Сегодня покопался и ничего не нашёл. Если кто-то её там видел, шепните!