2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 12:47 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Почему производная элементарной функции -- это всегда элементарная функция, а интеграл от элементарной функции -- не всегда?
И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?
(надеюсь, я верно понимаю, что такое "элементарная функция" -- многочлен, рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Ktina в сообщении #631956 писал(а):
И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?

Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 13:05 


14/01/11
3066
Ktina в сообщении #631956 писал(а):
Почему производная элементарной функции -- это всегда элементарная функция, а интеграл от элементарной функции -- не всегда?

А почему квадрат целого числа всегда целое, а квадратный корень - не всегда? :-)

TOTAL в сообщении #631964 писал(а):
Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?


Только ещё не забыть, что композиция элементарных функций также является элементарной функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 13:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #631964 писал(а):
Ktina в сообщении #631956 писал(а):
И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?

Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?

Их континуум, или даже больше, разве нет?

-- 17.10.2012, 13:12 --

Sender в сообщении #631969 писал(а):
А почему квадрат целого числа всегда целое, а квадратный корень - не всегда? :-)

Потому что не каждое целое число есть квадрат целого числа.

-- 17.10.2012, 13:15 --

Sender в сообщении #631969 писал(а):

Только ещё не забыть, что композиция элементарных функций также является элементарной функцией.

Я просто забыла дописать. Любая функция получаемая посредством конечного числа арифметических операций и композиций элементарных функций, также является элементарной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 13:23 


14/01/11
3066
Ktina в сообщении #631973 писал(а):
Потому что не каждое целое число есть квадрат целого числа.

Так и здесь - не каждая элементарная функция есть производная элементарной функции. Да вот хоть в вики загляните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Ktina в сообщении #631973 писал(а):
TOTAL в сообщении #631964 писал(а):
Ktina в сообщении #631956 писал(а):
И как доказать, что производная элементарной функции -- всегда элементарная функция?

Так как их всего несколько штук, то просто найти производную для каждой лично. Чем не доказательство?

Их континуум, или даже больше, разве нет?

Прямоугольных треугольников тоже континуум, теорему Пифагора надо доказать для каждого, срочно приступайте, работы много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9993
Москва
Ну, наверно, надо начать с доказательства того, что для любой "элементарной функции" можно выразить производную в этих же функциях. Определить элементарную функцию, как функцию из конечного списка (полиномы, тригонометрия, логарифм, экспонента...), проверить, что производная от любой функции из списка выражается через функции из этого списка, затем расширить понятие ЭФ на композиции из ЭФ по определённым правилам (сумма, произведение, частное, степенная...) и проверить, что производная от композиции функций явно выражается через эти функции и производные от них... То есть для любой композиции можно "разбирать" её, и рано или поздно дойти до функций из "первоначального списка".
А для интегралов такого простого правила, всегда работающего, нет. Скажем, попробуйте выразить интеграл от f(x)/g(x) через эти функции, интегралы от них или производные. В общем случае не получается, нет простого правила, как, например, для производной от частного.
Можно почитать здесь http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i8126135.pdf.zip
Это популярная (разумеется, предполагающая достаточно высокий уровень знаний, "высокая популяризация") статья В.В.Прасолова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 15:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Евгений Машеров в сообщении #631999 писал(а):
Можно почитать здесь http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i8126135.pdf.zip
Это популярная (разумеется, предполагающая достаточно высокий уровень знаний, "высокая популяризация") статья В.В.Прасолова.

Отличная книжка, начинаю читать, большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9993
Москва
Вообще это, http://www.mccme.ru/ место очень богатое и достойное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная элементарной функции и интеграл от последней
Сообщение17.10.2012, 18:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Я там как-то вроде видел статью про функциональное уравнение на функцию $x\mapsto\int_1^x t^a dt$. Сегодня покопался и ничего не нашёл. Если кто-то её там видел, шепните!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group