Сходимость ряда

[Limit79]

Имеется степенной ряд:
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^n \cdot n!}{n^n}$

По признаку Даламбера, нашел, что он сходится на $(-e;e)$.

А как проверить сходимость рядов, в граничных точках, то есть ряды:

а) $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(e)^n \cdot n!}{n^n}$

б) $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-e)^n \cdot n!}{n^n}$

Спасибо.

-- 17.10.2012, 11:55 --

Wolfram Alfa подсказал, что они оба расходятся, но сам толком не могу доказать. Вообще, тут не выполняется необходимый признак сходимости (но опять же, не могу вычислить аналитически этот предел, но он равен бесконечности), поэтому ряд расходится.

Сравнить этот ряд с чем-то - не могу понять чем.

Другие признаки тоже результатов не дали.

-- 17.10.2012, 11:56 --

Хочется применить признак Даламбера, но он дает $1$ для обоих рядов.

[Someone]

Сравните с $1$ отношение, которое Вы вычисляли в признаке Дадамбера, при $x=e$. Полезно вспомнить, как доказывается, что последовательность $\left(1+\frac 1n\right)^n$ монотонна.

[Limit79]

Someone
А что это даст? Точнее говоря, какой это признак?

В признаке Даламбера получилось $\frac{1}{e}$.

[ИСН]

Стирлинга примените и не морочьте голову.

[ewert]

Limit79 в сообщении #631907 писал(а):

Someone
А что это даст? Точнее говоря, какой это признак?

Скорее всего, Someone предлагал Вам доказать монотонное возрастание общего члена. Более простой, надёжный и более универсальный способ -- оценить общий член по формуле Стирлинга (если она у вас была, конечно).

[Someone]

Limit79 в сообщении #631907 писал(а):

А что это даст? Точнее говоря, какой это признак?

Обычно его называют "необходимым признаком сходимости". Название кажется мне очень странным, поскольку из него никакая сходимость не следует.

Limit79 в сообщении #631907 писал(а):

В признаке Даламбера получилось $\frac{1}{e}$.

Я говорил не о пределе отношения, а о самом отношении членов ряда при $x=e$. А почему $\frac{1}{e}$? Должна была получиться единица. Или Вы какую-то модификацию признака Даламбера используете?

[Limit79]

ИСН
ewert
Не было этой формулы.

Someone
$\frac{1}{e}$ - это предел отношения. Точнее говоря, предел отношения это $|x| \cdot \frac{1}{e}$

Спасибо, попробую.

[bot]

Someone в сообщении #631933 писал(а):

Название кажется мне очень странным

Ничего странного - он ведь необходим для сходимости. Впрочем, возможно надо было его переформулировать в отрицательной форме, чтобы он стал достаточным для расходимости - практическая его ценность ведь именно в этом.
Хотя да - странно здесь сочетание несочетаемых слов необходимый и признак.