Обсуждение и разбор марафонских задач

[Masik]

Раз уж у нас в этом туре модны "коварные ловушки", то приходится спросить.
Считаются ли в ММ167 различными треугольники, отличающиеся только поворотом, переворотом или параллельным переносом?

[VAL]

Masik в сообщении #631751 писал(а):

Раз уж у нас в этом туре модны "коварные ловушки", то приходится спросить.
Считаются ли в ММ167 различными треугольники, отличающиеся только поворотом, переворотом или параллельным переносом?

Треугольники, получающиеся друг из друга вышеперечисленными преобразованиями, сохраняющими расстояние, считаются равными.

[Masik]

VAL в сообщении #631794 писал(а):

Masik в сообщении #631751 писал(а):

Раз уж у нас в этом туре модны "коварные ловушки", то приходится спросить.
Считаются ли в ММ167 различными треугольники, отличающиеся только поворотом, переворотом или параллельным переносом?

Треугольники, получающиеся друг из друга вышеперечисленными преобразованиями, сохраняющими расстояние, считаются равными.

Извините за педантизм. А перенумерация вершин считается преобразованием, сохраняющим расстояния? В моё время (но не в твоё и не в нынешнее) говорили не "треугольники равны", а "треугольники конгруэнтны". Не всегда удаётся отличить коварные ловушки от простой опечатки или недосказанности.

[VAL]

Masik в сообщении #631835 писал(а):

VAL в сообщении #631794 писал(а):

Masik в сообщении #631751 писал(а):

Раз уж у нас в этом туре модны "коварные ловушки", то приходится спросить.
Считаются ли в ММ167 различными треугольники, отличающиеся только поворотом, переворотом или параллельным переносом?

Треугольники, получающиеся друг из друга вышеперечисленными преобразованиями, сохраняющими расстояние, считаются равными.

Извините за педантизм. А перенумерация вершин считается преобразованием, сохраняющим расстояния?

А зачем тебе эта "погорельщина"? не люблю я ее. Для решения задачи вполне хватает данного выше определения.

Цитата:

В моё время (но не в твоё и не в нынешнее) говорили не "треугольники равны", а "треугольники конгруэнтны".

Если тебе удобно, считай неразличимыми треугольники конгруэнтные по Колмогорову и только их. Ну или те, которые можно совместить наложением (при этом, если надо в процессе совмещения разрешается выходить из плоскости).

Цитата:

Не всегда удаётся отличить коварные ловушки от простой опечатки или недосказанности.

Это естественно. Когда формулируешь условие, воспринимаешь его однозначно. Возможность другого прочтения при этом в голову не приходит. Постараюсь отныне всякий раз до публикации проводить независимую экспертизу условия.

Кстати, независимый эксперт (весьма авторитетный для меня) утверждает, что:
1. Федя прав и других толкований быть не может.
2. Вопрос в ММ166 сформулирован однозначно. Можно было бы спросить "сколько различных отрицательных чисел при этом получится", но только из методических соображений.

[VAL]

======================================
Текущее положение участников в XVII туре Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 161 & 162 & 163 & 164 & 165 & 166 & \Sigma \\ \hline 1.& Олег Полубасов & 3 & 4 & 5 & 9 & 6 & 3 & 30 \\ \hline 2.& Алексей Волошин & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 3 & 27 \\ \hline 2.& Анатолий Казмерчук & 2 & 4 & 5 & 6 & 6 & 4 & 27 \\ \hline 4.& Виктор Филимоненков & 2 & 4 & 4 & 6 & 6 & 3 & 25 \\ \hline 5.& Сергей Половинкин & 3 & 4 & 3 & 6 & 5 & 3 & 24 \\ \hline 6.& Николай Дерюгин & 2 & - & - & - & 7 & 3 & 12 \\ \hline 7.& Евгений Гужавин & 3 & 4 & 4 & - & - & - & 11 \\ \hline 8.& Дмитрий Пашуткин & 3 & - & - & - & - & - & 3 \\ \hline \end{tabular}

[TOTAL]

VAL в сообщении #631863 писал(а):

2. Вопрос в ММ166 сформулирован однозначно. Можно было бы спросить "сколько различных отрицательных чисел при этом получится", но только из методических соображений.

Вопрос в ММ166 однозначно понимается как вопрос о количестве отрицательных сумм (а не как вопрос о количестве различных отрицательных сумм)

[VAL]

TOTAL в сообщении #631940 писал(а):

VAL в сообщении #631863 писал(а):

2. Вопрос в ММ166 сформулирован однозначно. Можно было бы спросить "сколько различных отрицательных чисел при этом получится", но только из методических соображений.

Вопрос в ММ166 однозначно понимается как вопрос о количестве отрицательных сумм (а не как вопрос о количестве различных отрицательных сумм)

Раз несколько человек, вполне адекватных и грамотных, поняли иначе, значит, как минимум, неоднозначно. Впрочем, как максимум, тоже.

[VAL]

========= 167 ==========

ММ167 (4 балла)

Будем говорить, что треугольник принадлежит к классу k, если из него можно получить прикладыванием к нему другого треугольника (без наложения) ровно k различных равнобедренных треугольников. Найти все возможные значения k.

Решение

См. приложение.
Ответ: $k\in\{0,2,3,5,7,9\}$

Обсуждение

Задача не вызвала затруднений у марафонцев.
У ведущего же было лишь одно затруднение: выбрать решения, для для всеобщего обозрения.
В результате я остановился на трех вариантах: наиболее геометрическом, наиболее арифметическом и наиболее наглядном.

Награды

За правильное решение задачи ММ167 Виктор Филимоненков, Алексей Волошин, Олег Полубасов, Евгений Гужавин, Анатолий Казмерчук и Сергей Половинкин получают по 4 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.6 балла

[VAL]

Текущее положение участников в XVII туре Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 161 & 162 & 163 & 164 & 165 & 166 & 167 & \Sigma \\ \hline 1.& Олег Полубасов & 3 & 4 & 5 & 9 & 6 & 3 & 4 & 34 \\ \hline 2.& Алексей Волошин & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 3 & 4 & 31 \\ \hline 2.& Анатолий Казмерчук & 2 & 4 & 5 & 6 & 6 & 4 & 4 & 31 \\ \hline 4.& Виктор Филимоненков & 2 & 4 & 4 & 6 & 6 & 3 & 4 & 29 \\ \hline 5.& Сергей Половинкин & 3 & 4 & 3 & 6 & 5 & 3 & 4 & 28 \\ \hline 6.& Евгений Гужавин & 3 & 4 & 4 & - & - & - & 4 & 15 \\ \hline 7.& Николай Дерюгин & 2 & - & - & - & 7 & 3 & - & 12 \\ \hline 8.& Дмитрий Пашуткин & 3 & - & - & - & - & - & - & 3 \\ \hline \end{tabular}
======================================
Решив конкурсную задачу ММ167, Анатолий Казмерчук первым из участников преодолел фантастический рубеж:
на сегодняшний день у него 501 балл в общем зачете Марафона!
Поздравляю! Желаю не сбавлять темп!

[VAL]

========= 168 ==========

ММ168 (5 баллов)

Существует ли многогранник, у которого ровно:
2 диагонали;
5 диагоналей;
7 диагоналей?

Решение

Докажем, что для любого целого неотрицательного $n$ существует (выпуклый) многогранник, имеющий ровно $n$ диагоналей.
Для этого возьмем на ребре $SA_{n+2}$ выпуклой пирамиды $SA_1A_2\dots A_{n+3}$ точку $T$ и отрежем от пирамиды тетраэдр $TA_{n+1}A_{n+2}A_{n+3}$.
У оставшегося многогранника будет ровно $n$ диагоналей: $TA_1,TA_2,\dots,TA_n$.

Обсуждение

У ряда участников возникли вопросы относительно понятия "диагональ многогранника". На всякий случай они рассмотрели варианты условия, в которых диагональ грани многогранника считается диагональю многогранника. Мне такая идея в голову не приходила. Я, как-то еще со школы, привык различать эти понятия. Например, диагональ куба и диагональ грани куба.
Все найденные мной источники (я начал их искать только после получения ответов, в которых учтены диагонали граней) определяют диагональ многогранника, как отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной грани.
По счастью:
никто из участников не ограничился рассмотрением ситуации в которой диагонали граней считаются диагоналями многогранника;
даже в этом случае ответ будет прежним - три раза "да".

В условии ничего не сказано о выпуклости многогранника. Поэтому можно рассматривать и невыпуклые (чем и воспользовался один из участников). В то же время, очевидно, никакой необходимости в этом нет.

Алексей Волошин, Олег Полубасов, Анатолий Казмерчук и Сергей Половинкин не ограничились рассмотрением конкретных случаев 2-х, 5-и и 7-и диагоналей, а доказали утверждения, аналогичные приведенному в решении.
Сергей усмотрел способ получить любое число диагоналей, отказавшись от выпуклости многогранника (при этом считались только диагонали, лежащие внутри многогранника).
Способ получения нужного выпуклого многогранника, предложенный Олегом и Анатолием, по сути аналогичен приведенному. Любопытно, что при этом они стартовали не n+3-угольной пирамиды, а с n+2-угольной. При этом они не отрезали от исходной пирамиды тетраэдр, а наоборот помещали тетраэдр на боковую грань.
Получающиеся при этом многогранники идентичны, но в моем способе не нужно оговорок, а в варианте с добавлением тетраэдра нужно накладывать ограничения, чтобы сохранить выпуклость и не допустить, чтобы боковая грань добавляемого тетраэдра стала продолжением одной из граней исходной пирамиды.
Способ, предложенный Алексеем, по сути похож на остальные (а отличия можно посмотреть в приведенном решении).

В одном из многогранников, предложенных в качестве многогранника с 7-ю диагоналями, а насчитал всего 6 диагоналей. Еще в одном - целых 8. Впрочем, среднее число по всем решениям оказалось правильным

Кроме упомянутого решения Алексея Волошина, привожу решения Николая Дерюгина и Олега Полубасова. Николай посчитал количество диагоналей для некоторых специальных классов многогранников. Олег продвинулся еще дальше.


Награды

За решение задачи ММ168 участникам начислены следующие призовые баллы: Олег Полубасов - 8; Анатолик Казмерчук, Алексей Волошин и Николай Дерюгин - по 6; Сергей Половинкин - 5; Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи 4.3 балла

[Masik]

VAL в сообщении #637035 писал(а):

Получающиеся при этом многогранники идентичны, но в моем способе не нужно оговорок, а в варианте с добавлением тетраэдра нужно накладывать ограничения, чтобы сохранить выпуклость и не допустить, чтобы боковая грань добавляемого тетраэдра стала продолжением одной из граней исходной пирамиды.

Вместо слова "тетраэдр" здесь уместнее "треугольная пирамида высотой $\epsilon$", IMHO.

[VAL]

Masik в сообщении #637175 писал(а):

Вместо слова "тетраэдр" здесь уместнее "треугольная пирамида высотой $\epsilon$", IMHO.

Возможно.
Я привык к употреблению термина "тетраэдр" как синонима термина "треугольная пирамида", хотя:
1) "тетраэдр" как синоним понятия "правильный тетраэдр" тоже встречается нередко;
2) если говорить о высоте треугольной пирамиды, сразу понятно, о чем речь, а если о высоте (вполне идентичного ей) тетраэдра, то еще нужно уточнять, о какой из четырех

-- 29 окт 2012, 09:47 --

Текущее положение участников в XVII туре Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 161 & 162 & 163 & 164 & 165 & 166 & 167 & 168 & \Sigma \\ \hline 1.& Олег Полубасов & 3 & 4 & 5 & 9 & 6 & 3 & 4 & 8 & 42 \\ \hline 2.& Алексей Волошин & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 3 & 4 & 6 & 37 \\ \hline 2.& Анатолий Казмерчук & 2 & 4 & 5 & 6 & 6 & 4 & 4 & 6 & 37 \\ \hline 4.& Виктор Филимоненков & 2 & 4 & 4 & 6 & 6 & 3 & 4 & 4 & 33 \\ \hline 4.& Сергей Половинкин & 3 & 4 & 3 & 6 & 5 & 3 & 4 & 5 & 33 \\ \hline 6.& Николай Дерюгин & 2 & - & - & - & 7 & 3 & - & 6 & 18 \\ \hline 7.& Евгений Гужавин & 3 & 4 & 4 & - & - & - & 4 & - & 15 \\ \hline 8.& Дмитрий Пашуткин & 3 & - & - & - & - & - & - & - & 3 \\ \hline \end{tabular}
======================================

[VAL]

Внимание!
Прием решений задачи ММ169 продлен до 17.11.12

[VAL]

========= 170 ==========

ММ170 (8 баллов)

Прямоугольный параллелепипед склеили из единичных некрашеных кубиков. После этого три грани параллелепипеда покрасили в красный цвет. Остальные три грани покрасили в синий, желтый и зеленый цвета (по одной в каждый цвет).
Оказалось, что некрашеных кубиков в два раза больше, чем кубиков, имеющих, по крайней мере, одну красную грань. Количества кубиков, имеющих хотя бы одну синюю (желтую, зеленую) грань также являются делителями количества некрашеных кубиков.
Найти объем параллелепипеда.

Решение

См. ниже

Обсуждение

Все предложенные решения (включая ошибочное ) основаны на составлении диофантовых уравнений, соответствующих различным способам расположения красных граней, обосновании конечности числа возможных случаев и их переборе.
Я не стал ставить количество призовых баллов за задачи в зависимость от степени "грубости" оценок,ограничивающих перебор, поскольку даже наименее аккуратные оценки приводят к небольшому (для компьютера) перебору.

Теперь о том, почему условию удовлетворяют два разных ответа.
При составлении задачи я выявил оба подходящих параллелепипеда, но ухитрился так посчитать объемы, что они оказались равными (помню, что я не перемножал длины сторон, а находил канонические разложения произведений).
Мне подумалось, что наличие двух разных параллелепипедов, приводящих к единственному ответу - изюминка задачи. Будь ответ и в самом деле единственным, наверное так бы и было.

Награды

За правильное решение задачи ММ170 Олег Полубасов, Алексей Волошин, Анатолий Казмерчук и Сергей Половинкин получают по 8 призовых баллов. Виктор Филимоненков получает 5 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

-- 13 ноя 2012, 18:27 --

======================================
Текущее положение участников в XVII туре Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 161 & 162 & 163 & 164 & 165 & 166 & 167 & 168 & 170 & \Sigma \\ \hline 1.& Олег Полубасов & 3 & 4 & 5 & 9 & 6 & 3 & 4 & 8 & 8 & 50 \\ \hline 2.& Алексей Волошин & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 3 & 4 & 6 & 8 & 45 \\ \hline 2.& Анатолий Казмерчук & 2 & 4 & 5 & 6 & 6 & 4 & 4 & 6 & 8 & 45 \\ \hline 4.& Сергей Половинкин & 3 & 4 & 3 & 6 & 5 & 3 & 4 & 5 & 8 & 41 \\ \hline 5.& Виктор Филимоненков & 2 & 4 & 4 & 6 & 6 & 3 & 4 & 4 & 5 & 38 \\ \hline 6.& Николай Дерюгин & 2 & - & - & - & 7 & 3 & - & 6 & - & 18 \\ \hline 7.& Евгений Гужавин & 3 & 4 & 4 & - & - & - & 4 & - & - & 15 \\ \hline 8.& Дмитрий Пашуткин & 3 & - & - & - & - & - & - & - & - & 3 \\ \hline \end{tabular}
======================================

[VAL]

========= 169 ==========

ММ169 (6 баллов)

Для каждого натурального числа n обозначим $s(n)=\frac{\varphi(\sigma(n))}{\sigma(\varphi(n))}$, где $\varphi(n)$ - функция Эйлера, а $\sigma(n)$ - сумма натуральных делителей числа $n$. Может ли $s(n)$ быть:
а) меньше $\frac1{50}$
б) больше 7?


Решение

Ответ на оба вопроса задачи положительный.
а) пусть, например, $n=585871202393874409506005101538419=$
$=181\cdot930619\cdot129581\cdot665897\cdot2549\cdot922781\cdot17137)$, тогда $s(n)\approx0.0197396$;
б) пусть, например, $n=7489713078452706336696362519284489351172975589170943373354534381687829821684928064000000=$ $=2^{12}\cdot3^6\cdot 5^6\cdot 7^4\cdot 11^6\cdot 13^4\cdot 17^2\cdot 19^6\cdot 23^4\cdot 29^4\cdot 31^6\cdot 37^6\cdot 41^2\cdot 43^4\cdot 47^6\cdot 59^2$, тогда $s(n)\approx 7.03737$.

Обсуждение

Числа $\frac1{50}$ и $7$, конечно, не являются особенными. Составляя эту задачу, я полагал, что значение $s(n)$, может быть, как сколь угодно большим, так и сколь угодно близким к 0.
При этом сам я поленился искать строгое доказательство этих гипотез, но надеялся, что участники Марафона (как это не раз бывало) пойдут дальше ведущего. Надежды оправдались. Но лишь отчасти.
Доказательства, с наибольшими основаниями претендующие на строгость, привел Виктор Филимоненков. К сожалению Виктор, набирал формулы прямо в тексте. В отличие от dxdy правилами Марафона это не запрещено, но некоторых случаях (наш из них) существенно затрудняет чтение.
Обоснования, приведенные Евгением Гужавиным, оформлены гораздо лучше, но менее строги.
Остальные участники ограничились конкретикой.

Границы $\frac1{50}$ и $7$ подбирались так, чтобы, с одной стороны, подходящие числа было реально подобрать на компьютере, а с другой - этот подбор не был бы слишком простым.
Если на ограничении $\frac1{50}$ я остановился почти сразу, решив, что до одной сотой добраться будет сложно, а промежуточные значения недостаточно красивы, то на роль семерки вначале планировалась десятка.
Однако, добравшись до
$n=2^{30}\cdot 3^{12}\cdot 5^6\cdot 11^6\cdot 13^4\cdot 17^4\cdot 41^2\cdot 263^4\cdot 7^4\cdot 47^6\cdot 59^2\cdot 61^6\cdot 67^4\cdot 71^2\cdot 73^4\cdot 79^4\cdot 23^4\cdot 701^2\cdot 373^4\cdot 29^4\cdot 31^6\cdot 37^6\cdot 43^4\cdot 19^6\cdot 167^2\cdot 761^2\cdot 101^2\cdot 97^6\cdot 89^2\cdot 83^4\cdot 149^4\cdot 131^2\cdot 127^4\cdot 199^4\cdot 197^4\cdot 193^4\cdot 173^2\cdot 337^4\cdot 293^2\cdot 277^4\cdot 677^2\cdot 509^2\cdot 397^4\cdot 353^4\cdot 773^2\cdot 733^4\cdot 911^2\cdot 827^2\cdot 1193^2\cdot 1181^2\cdot 1163^2\cdot 1217^2\cdot 1559^2\cdot 1427^2\cdot 1373^2\cdot 7547^2\cdot 2339^2\cdot 2663^2\cdot 3863^2\cdot 4259^2\cdot 4721^2\cdot 1931^2\cdot 6761^2\cdot 3557^2\cdot 2273^2\cdot 6959^2\cdot 1847^2\cdot 3881^2\cdot 6791^2\cdot 5003^2\cdot 4583^2\cdot 7901^2\cdot 1709^2\cdot 6833^2\cdot 4889^2\cdot 2729^2\cdot 5501^2\cdot 3407^2\cdot 6551^2\cdot 3137^2\cdot 7253^2\cdot 4409^2\cdot 4751^2\cdot 3041^2\cdot 3011^2\cdot 2129^2\cdot 6917^2\cdot 3221^2\cdot 4733^2\cdot 3251^2\cdot 251^2$,
где $s(n)\approx8.6426$, передумал.

Награды

За решение задачи ММ169 Виктор Филимоненков получает 8 призовых баллов, Евгений Гужавин, Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 6 баллов, Алексей Волошин - 5 баллов.

Эстетическая оценка - 4.5 баллов