2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти сумму ряда
Сообщение15.10.2012, 21:03 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Вот такой ряд появился:
$$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{H_k}{k\cdot 3^k}$$
где $H_k=\sum\limits_{j=1}^k\frac{1}{j}$ - гармонические числа.
Надо бы его явно сосчитать, а я не могу :-(
1. Пробовал считать ПФ $f(t)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{H_kt^k}{k\cdot 3^k}$, получается $f'(t)=-\frac{\ln(1-t/3)}{t(1-t/3)}$ - не интегрируется.
2. Заметил, что в знаменателе стоят числа всевозможные $ij, i\leqslant j$. Тогда $2S=\left(\sum\limits_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{j\cdot 3^j}\right)^2-\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2\cdot 3^k}$, 1-я сумма - $\ln\frac{3}{2}$, а 2-ю опять не знаю. Считаю опять ПФ: $r(t)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{t^k}{k^2}$, тогда $r'(t)=-\frac{\ln(1-t)}{t}$ - опять интеграл не берется.
3. Зашел в Maple. Он сказал, что последняя сумма равна $\mathrm{polylog}\left(2,\frac{1}{3}\right)$. Это означает, что я его не сосчитаю? А где про полилогарифмы почитать? Наверное в гугле...

Что делать :-(

(Оффтоп)

Савсэм забыл матанализ :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение15.10.2012, 21:15 
Заслуженный участник


20/12/10
9114
Sonic86 в сообщении #631392 писал(а):
А где про полилогарифмы почитать?
Например, здесь:
Lewin L., Polylogarithms and associated functions, Elsevier North Holland, 1981.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму ряда
Сообщение15.10.2012, 21:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Спасибо! Почитаю...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group