Последовательности

[Keter]

1) Найти наибольший член последовательности: $a_n=\dfrac{n^2}{1,01^n}$.

2) Доказать, что последовательность ограничена: $a_n=\underbrace{\sqrt{4+\sqrt{...+\sqrt4}}}_{n}$.

Какие есть идеи в первом, кроме решить неравенство $a_{n+1}>a_n$?

Во втором не хочется применять метод мат. индукции для верхней границы. Как можно по другому оценить?

[chessar]

1) Вы уверены, что наибольший надо найти? Ведь это строго возрастающая последовательность.
2) Уже что-то было такое, но про пределы (topic62358, вложенные радикалы).

[Keter]

chessar, нет, не строго. На сколько я знаю, показательная растёт быстрее параболы, поэтому в какой-то момент $n^2$ будет меньше $0,01^n$. Да хотя бы при $n=9999$

[AV_77]

Так как $0.01^n$ стоит в знаменателе, то $a_n = n^2 \cdot 100^n$. Отсюда видно, что последовательность строго возрастает.

[chessar]

$\dfrac{9999^2}{0{.}01^{9999}}=9{.}998000100\cdot10^{20005}$. Растёт быстрее, если основание показателя больше 1!

[Keter]

AV_77, chessar, я дико извеняюсь Там должно быть $1,01^n$.

chessar, ухты, а как это доказать:

$$\dfrac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}=\sqrt{a+b\sqrt{...+b\sqrt{a}}}$$

[AV_77]

Keter в сообщении #631369 писал(а):

а как это доказать:

$$\dfrac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}=\sqrt{a+b\sqrt{...+b\sqrt{a}}}$$

Предположить, что "это", которое справа, равно $x$, возвести в квадрат и решить квадратное уравнение.

[chessar]

Keter в сообщении #631369 писал(а):

ухты, а как это доказать

Ну там же вроде всё есть по ссылке. Возводим в квадрат, вычитаем $a$, делим на $b$, получаем то же. Т.е. имеем квадратное уравнение.

А, уже есть ответ. Спасибо AV_77.

-- Пн окт 15, 2012 21:32:17 --

1) А что мешает исследовать функцию $f(x)=\dfrac{x^2}{1{.}01^x}$ при $x>0$.

-- Пн окт 15, 2012 21:33:50 --

1) $n=201$.

[Keter]

AV_77, но при таком возведении я получу $x=\sqrt{a+b}$...

chessar, как Вы её так рассмотрели?

-- 15.10.2012, 20:59 --

Так, второе понял как нужно делать, разобрался.

А что с первым - так и не врубаюсь.

[chessar]

Keter в сообщении #631385 писал(а):

как Вы её так рассмотрели?

Кого, последовательность $a_n$? Взял функцию $f(x)=\dfrac{x^2}{1{.}01^x}$ и исследовал её на максимум при $x>0$. Получил, что максимум достигается в $x=200{.}9...$. Сравнил $f(200)$ и $f(201)$ (ибо надо в целых $x$). Хотя я конечно не ручками считал. Так что наверно не подойдёт такое решение. А вообще-то подойдёт, при приравнивании производной к $0$ в итоге получается просто: $x=\dfrac{2}{\ln{1{.}01}}$.

[Keter]

chessar, знаю, я так тоже делал, а вот без производной как решить? Ответ можно дать в виде $\dfrac{2^{201}}{1,01^{201}}$. Вопрос: как дойти до этого ответа без производной?

[chessar]

Keter в сообщении #631401 писал(а):

а вот без производной как решить?

Ну тогда так как Вы и предложили, решать неравенство $a_{n+1}>a_n$.

[Keter]

chessar, ну да, похоже легче нет способа. Спасибо))

[ewert]

Keter в сообщении #631351 писал(а):

Какие есть идеи в первом, кроме решить неравенство $a_{n+1}>a_n$?

Тупо и решайте. Мгновенно получится простенькое квадратное неравенство $1+\frac2n+\frac1{n^2}>1.01$.
Причём решать его честно именно как квадратное нет необходимости. Ясно, что $n$ велико и при грубой прикидке границей будет примерно $n=200$, если исходить из того, что вторая дробь много меньше первой. А дальше -- просто перебор: $n=200$, очевидно, неравенству удовлетворяет, а $n=201$ -- уже нет, т.е. $\frac2{201}+\frac1{201^2}<0.01.$ Это видно даже без калькулятора, если записать левую часть как $\frac{2.01}{201}-\frac{0.01}{201}+\frac1{201^2}=0.01-\frac1{100\cdot201}+\frac1{201\cdot201}.$

Keter в сообщении #631351 писал(а):

Во втором не хочется применять метод мат. индукции для верхней границы. Как можно по другому оценить?

Что может быть проще, чем по индукции проверить, например, что $a_n<3$?...

Keter в сообщении #631385 писал(а):

AV_77, но при таком возведении я получу $x=\sqrt{a+b}$...

chessar, как Вы её так рассмотрели?

Надо просто честно выписать рекуррентное определение последовательности: $x_{n+1}=\sqrt{a+bx_n},\ x_0=0$. Если предел сущестует, то он может быть только корнем квадратного уравнения $x^2-bx-a=0,$ который там слева и выписан.

Только вот существование предела надо ещё доказывать; и при отрицательных $b$ его может и не существовать. А при $b>0$ и $a=0$ пределом и будет ноль, а вовсе не $b$, как там обещано.

[Keter]

ewert, первое задание я так и сделал, а второе -- понятно, что проще, чем мат. индукция не будет, но хотелось найти другой способ, вот и нашел:

$$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{...}}}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}.$$