Аксиомы "не математики"

[Ribocyte]

Padawan в сообщении #631227 писал(а):

не факт, что Вы дождетесь, что нужное утверждение будет доказано.

То, что Вы сказали выше - верно. А вот Ваш вывод в корне неверен.
Вообще-то ответ был дан выше - если бы прочитали повнимательнее, то поняли бы.
Хорошо, повторю ещё раз.
Если нам известно, что данное утверждение имеет доказательство, то мы всегда сможем его вычислить (потенциально конечно) - то есть произвести алгоритмическую процедуру, в результате которой всегда получим это доказательство.
Я также писал, что в случае с элементарной геометрией дело ещё проще - она разрешима.

[Padawan]

Ribocyte
А в элементарную геометрию что, входят такие понятия как "длина" и "отношение длин" ? Может туда и вся теория действительных чисел входит? Но тогда и вся арифметика тоже. А значит...

-- Пн окт 15, 2012 16:55:06 --

Padawan в сообщении #631232 писал(а):

Если нам известно, что данное утверждение имеет доказательство, то мы всегда сможем его вычислить

Только проблема в том, что такой уверенности у нас нет.

[epros]

Ribocyte в сообщении #631222 писал(а):

Потом генерировать доказательства с помощью какого-то алгоритма.

Вы правы, хотя я имел в виду более практические вещи: Что при соответствующем определении «окружности», её «длины» и «диаметра» мы получим такое определение отношения «длины» к «диаметру», независимость которого от «диаметра» будет достаточно тривиальным фактом. Т.е. перебирать всевозможные доказательства и не потребуется.

[Ribocyte]

epros в сообщении #631235 писал(а):

Вы правы, хотя я имел в виду более практические вещи: Что при соответствующем определении «окружности», её «длины» и «диаметра» мы получим такое определение отношения «длины» к «диаметру», независимость которого от «диаметра» будет достаточно тривиальным фактом. Т.е. перебирать всевозможные доказательства и не потребуется.

Вы спросили про вычисления - я ответил Вам на тот вопрос, который Вы задали. Трудно быть экстрасенсом и угадывать, что Вы подразумевали не то, что спрашивали.

[epros]

Ribocyte в сообщении #631237 писал(а):

Вы спросили про вычисления - я ответил Вам на тот вопрос, который Вы задали.

Вообще-то я bina спросил. А к Вашим утверждениям у меня пока никаких вопросов не было.

[Xaositect]

Padawan в сообщении #631232 писал(а):

А в элементарную геометрию что, входят такие понятия как "длина" и "отношение длин" ? Может туда и вся теория действительных чисел входит? Но тогда и вся арифметика тоже. А значит...

Теория действительных чисел не содержит арифметики, там нет индукции и предиката "$x$ есть натуральное число".

[Lukin]

А чем, по большому счету, отличаются вычисления с протоколом от вычислений без протокола ?
К примеру, существует множество алгоритмов, вычисляющих $2+2$ и вычисляющих истинность утверждения $2+2=4$. Существует и алгоритм, который напрямую выдает результат, без промежуточных тактов (без протокола), в него просто заложено такое "правило вывода" - если на входе $(2,2)$, то на выходе $4$. Или есть некая физическая система, которая может находится только в тех состояниях, которые есть в ее математической модели (например, триггер, планетарная система, сосуд с газом, квантовая система и т.д.). Мы знаем текущее состояние системы, нужно вычислить в каком состоянии система будет в следующий момент времени. Можно просто взять и померить это состояние. Это будет вычислением без протокола или нет ? Можно ли это рассматривать, как "правило вывода", как элементарную функцию алгоритма, как команду определенного языка программирования ? Вот например, утверждение: "если все апельсины оранжевые, то все вороны черные". В общем-то, это утверждение из разряда утверждений про бесконечное число шаров и коробку. Насколько я понял, Xaositect и то и другое будет математикой. Предположим апельсины и вороны - часть физической системы, измерив параметры который мы получим без протокола ответ, истинно это утверждение или ложно, будет ли это вычислением ? Если нет, то в чем отличие от варианта с коробкой и шарами ?

[Ribocyte]

Lukin в сообщении #631267 писал(а):

уществует и алгоритм, который напрямую выдает результат, без промежуточных тактов (без протокола)

Не бывает алгоритмов в классическом понимании без протокола.

-- 15.10.2012, 18:31 --

Lukin в сообщении #631267 писал(а):

Существует и алгоритм, который напрямую выдает результат, без промежуточных тактов (без протокола), в него просто заложено такое "правило вывода" - если на входе $(2,2)$

Протокол все равно будет, грубо говоря, в соответствии с тем, что Вы обозначили как "правила вывода"

-- 15.10.2012, 18:34 --

Lukin в сообщении #631267 писал(а):

Предположим апельсины и вороны - часть физической системы, измерив параметры который мы получим без протокола ответ, истинно это утверждение или ложно, будет ли это вычислением ?

Мы действительно можем получать знания об абстрактных конструкциях без использования протоколируемых процедур вычисления (вывода). Прямыми измерениями. В этом-то и фишка, и нетривиальность излагаемой мысли. Физический опыт даёт математические знания. И этот опыт не ограничен игрой в нумеруемые символы, как мы имеем дело в случае с записями на бумаге, игрой в шахматы, манипуляциями кубиком Рубика или классическим компьютером.
Древнейшим примером этого служит эмпирическое обобщение того, что впоследствии назвали теоремой Пифагора. Эта закономерность была открыта эмпирически благодаря тому, что мы сейчас называем "физическим измерением". Наряду с множеством метрических соотношений, которые можно эмпирически обнаружить в рамках геометрии, со временем появлялись новые знания.
Из исторических примеров мне известны опыты Римана с электрическим током в пластинах, а также опыты с мыльными плёнками, позволившими открыть новые топологические закономерности.
Напомню также про "вычислительную" мощь некомпьютерного способа получения абстрактных истин в случае классического хаоса и квантовых процессов (в том числе и спектр излучения молекул, который по сути - математический параметр в рамках описываемой модели и который очень тяжело и практически невозможно вычислить достаточно точно для большинства случаев, а вот измерить - пожалуйста).

[Ribocyte]

Если участники форума посчитают эту тему интересной, то готов начать новую отдельную тему.

[Ribocyte]

Padawan в сообщении #631232 писал(а):

А в элементарную геометрию что, входят такие понятия как "длина" и "отношение длин" ? Может туда и вся теория действительных чисел входит? Но тогда и вся арифметика тоже. А значит...

Хотя за меня внятно ответили, просто чуть по другому скажу то же самое.
В теории действительных чисел мы не можем говорить о натуральных
Дело в том, что внутри этой теории мы не можем создать предикат "быть натуральным числом", как верно здесь заметили. Образно говоря, они как бы ничем не отличаются.
Поэтому теорема Геделя не запрещает теории действительных чисел быть одновременно полной и непротиворечивой. В действительности теория действительных чисел полна.

Геометрию можно "отобразить" на некое подмножество действительной теории. В в геометрии нельзя работать с целыми числами отдельно от прочих.
Геометрия - не просто полная теория, но и разрешимая.

[Padawan]

Xaositect, Ribocyte
Спасибо за пояснение.

[Sonic86]

Ribocyte в сообщении #631312 писал(а):

Дело в том, что внутри этой теории мы не можем создать предикат "быть натуральным числом", как верно здесь заметили.

Почему?! $x\in\mathbb{N}\Leftrightarrow x>0\&\sin(\pi x)=0$.
Или я аксиоматики не знаю? Тогда не отвечайте - я почитаю лучше.

[Someone]

bin в сообщении #631093 писал(а):

Прежде всего: что понимается под термином "вычисление"?

Под вычислением, как обычно, понимается последовательность формальных действий над некоторыми формальными объектами, определяемая некоторым алгоритмом.

bin в сообщении #631093 писал(а):

Как, нпр., с помощью вычислений доказать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная?

Евклидова геометрия - разрешимая теория. Существует алгоритм, придуманный Тарским в 1948 году, который для любого утверждения евклидовой геометрии за конечное время определяет, доказуемо оно или нет. (читая тему дальше, обнаружил, что об этом уже говорили.)

Ribocyte в сообщении #631094 писал(а):

Измерение спектра дасть более точное решение, нежели манипуляция с нумерованными символами (классическое вычисление).

Давайте не будем путать измерение с вычислением. Физические измерения не дают знаний об абстрактном мире. Поясню далее.

Ribocyte в сообщении #631094 писал(а):

Другой пример был известен еще А. Пуанкаре - в случае классической динамической системы возможна такая ситуация, когда любые вычисления (считающиеся сейчас классическими) дадут катастрофически неточный результат для достаточно большого параметра - времени. Природа же справляется с решением этой математической задачи лучше и точнее. И можем измерением опять же получить знания об абстрактном мире.

Вы ошибаетесь. Природа не занимается решением математических задач. Она просто существует и изменяется по своим правилам. И даже если интерпретировать физическое моделирование динамической системы как своего рода "вычисление", природа с этим "вычислением" тоже не справляется. Даже если вообразить, что Вы ухитрились задать совершенно точные начальные данные, физическая модель постепенно разойдётся с результатом совершенно точного решения. Просто потому, что в "природе", кроме Вашей модели, есть ещё много чего, и всё это так или иначе влияет на модель, сбивая её с точной траектории.

Ribocyte в сообщении #631101 писал(а):

Someone в сообщении #631007 писал(а):

сли Вы думаете, что доказательство теоремы, сочинённое человеком, написанное им на бумаге и проверенное десятком специалистов, гарантированно является правильным

А если не думаю?

Молодец!

Ribocyte в сообщении #631101 писал(а):

Someone в сообщении #631007 писал(а):

Во-первых, это не новость.

Очень рад за Вас, что Вы знаете этот банальный факт. Цепочка любых логических рассуждений сводится к совокупности банальных применений фиксированных правил вывода. Будете ли Вы при любом выводе стоять рядом и с каждым применением этого правила декларировать истину - "это - банальная процедура"? Объявите ли Вы при этом любую теорему банальной?

Давайте не будем идиотствовать. Тем более, что в моём сообщении речь шла совершенно о другом.

Ribocyte в сообщении #631101 писал(а):

Возьмите ЛЮБУЮ кучу камешков (будем для определенности считать, что в куче камешков больше 1).
Если Вы доверяете физической модели, описывающей собирание камешков в кучи, то Вы можете сформулировать очень просто гипотезу Гольдбаха:
Если кучу камешков можно разбить на две кучи с равным количеством камешков (если число чётное), то её обязательно можно разбить на две кучи, каждую из которых в отдельности нельзя разбить на кучи с равным количеством камешков (простые числа).

Как-то Вы неопределённо сформулировали оговорку насчёт одного камешка...
Вы неправы со своим примером. Проблема Гольдбаха очень далеко выходит за границы Вашей модели с камешками. И эксперименты с камешками ничего существенного о гипотезе Гольдбаха не скажут.

Ribocyte в сообщении #631101 писал(а):

Возьмите ЛЮБУЮ кучу камешков (будем для определенности считать, что в куче камешков больше 1).
Если Вы доверяете физической модели, описывающей собирание камешков в кучи, то Вы можете сформулировать очень просто гипотезу Гольдбаха:
Если кучу камешков можно разбить на две кучи с равным количеством камешков (если число чётное), то её обязательно можно разбить на две кучи, каждую из которых в отдельности нельзя разбить на кучи с равным количеством камешков (простые числа).

Как-то Вы неопределённо сформулировали оговорку насчёт одного камешка...
Вы неправы со своим примером. Проблема Гольдбаха очень далеко выходит за границы Вашей модели с камешками. И эксперименты с камешками ничего существенного о гипотезе Гольдбаха не скажут.

Ribocyte в сообщении #631273 писал(а):

Lukin в сообщении #631267 писал(а):

Предположим апельсины и вороны - часть физической системы, измерив параметры который мы получим без протокола ответ, истинно это утверждение или ложно, будет ли это вычислением ?

Мы действительно можем получать знания об абстрактных конструкциях без использования протоколируемых процедур вычисления (вывода). Прямыми измерениями. В этом-то и фишка, и нетривиальность излагаемой мысли. Физический опыт даёт математические знания.

Не даёт.
Прежде всего, чтобы говорить об абстрактной конструкции, Вы должны иметь эту конструкцию, то есть, заранее её построить. Затем Вы должны придумать физическую интерпретацию этой конструкции.
Откуда у Вас есть уверенность, что интерпретация адекватна? А, ну да, Вы же, с одной стороны, провели кучу опытов, а с другой - досконально исследовали свою абстрактную конструкцию математическими методами, сравнили результаты опытов с результатами. И всё хорошо согласуется.
Но Вам не хочется возиться с математикой. Вы предпочитаете ставить опыты и измерять. И считаете, что этого достаточно. Вот Вы что-то такое новое намерили, и, согласно своей интерпретации, получили новое знание о своей абстрактной конструкции.
Вы уверены? Может быть, попробуем всё-таки воспользоваться математикой? Для проверки, хотя бы. А вдруг Вас ждёт сюрприз, и в этом месте Ваша физическая модель не адекватна? Это, знаете ли, сплошь и рядом случается. В истории физики было гораздо больше неадекватных моделей, нежели адекватных. А те, которые адекватные - адекватны ограниченно. И переходить через границы адекватности категорически не рекомендуется. И беда в том, что заранее эти границы неизвестны.

[Ribocyte]

Someone, я очень благодарен за Ваши ответы. Действительно, хотелось бы адекватного и грамотного собеседника, который был стал спорить.

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Давайте не будем путать измерение с вычислением.

Я не путаю, и если Вы внимательно прочитаете сообщение, то внятно различил классическое вычисление с нумерованными символами с результатами измерений, которые дают результат, иногда даже более точный нежели имеющиеся у нас возможности вычисления.
Даже если я и напишу "природа вычисляет", то это не значит, во первых, что я считаю, что природа обязательно разумна - речь не об этом, а, во-вторых, я употреблял это в ироничном смысле.

Я ведь с тем же успехом могу и Вас ткнуть на явные неточности в изложении, например:

-- 16.10.2012, 06:20 --

Цитата:"... за конечное время определяет, доказуемо оно или нет". Коню понятно, что никакого ВРЕМЕНИ здесь нет. Говорят "за конечное число шагов". Придирка? Да. Это я к тому, что есть значимые придирки, а есть - нет. При всем при том, что я внятно написал, что понимаю под классическим вычислением.

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Физические измерения не дают знаний об абстрактном мире.

Также слишком легко Вы отвергаете в том числе и корни геометрии - то, как она зарождалась. Если кто-то, что-то утверждает, то всегда хочется аргументов. Ну хотя бы для того, чтобы понять, а какой вес у этого утверждения.

-- 16.10.2012, 06:27 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Вы ошибаетесь. Природа не занимается решением математических задач

У природы неизвестно достоверных проявлений разума. И в этом смысле, она подобно компьютеру, не "занимается решением задач".
Однако я писал о другом и приводил примеры того, как измерение даёт символику, дающую информацию о знаниях об абстрактном мире. То есть результат, сходный с таковым получающийся при классическом вычислении. И вычисление и измерение на выходе дают символику. Именно в этом смысле это и было сказано. На конктретных примерах показано, что один и тот же результат можно получить лишь проводя опыты с нумеруемой символикой и проводя какие-то измерения другого рода. Вы можете этому возразить или нет? Ибо хотелось бы всё-таки аргументов.

-- 16.10.2012, 06:28 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Вы неправы со своим примером.

Что-то сплошные утверждения без аргументации. Очень жаль.

-- 16.10.2012, 06:29 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Как-то Вы неопределённо сформулировали оговорку насчёт одного камешка...

Очень определённо - благодаря этому условие сформулировано внятно и определенно. Вы же неопределенно высказались об определенности - то с этаким загадочным непонятным намёком.

-- 16.10.2012, 06:31 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Прежде всего, чтобы говорить об абстрактной конструкции, Вы должны иметь эту конструкцию, то есть, заранее её построить. Затем Вы должны придумать физическую интерпретацию этой конструкции.

Я об этом и писал. Вы просто невнимательно читали. Просто, когда я пишу, как бы считаю, что прочитали не только последнее сообщение, но хотя бы несколько предыдущих. Что ж, повторю как мантру "при условии доверия к модели, описывающей данное физическое явление". Вы лишь повторили эту же мысль другими словами.

-- 16.10.2012, 06:38 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Даже если вообразить, что Вы ухитрились задать совершенно точные начальные данные, физическая модель постепенно разойдётся с результатом совершенно точного решения. Просто потому, что в "природе", кроме Вашей модели, есть ещё много чего, и всё это так или иначе влияет на модель, сбивая её с точной траектории.

Итак, прозвучал пока только первый аргумент. Физическая модель (возможно) всегда не точна и не общеприменима. Значит, и следствия её всегда неточны.
Согласен! И всегда об этом факте помнил.
Отвечаю. Итак, мы затронули в том числе и вопрос точности.
Даже любая физическая модель применения нумерованных символов будет тоже не общеприменима. Тем не менее на ней основаны вычисления.
Приблизительность модели эвклидовой геометрии не помешали установить путём измерения линейкой и угломером древним шумерам, египтянам и прочим грекам (которые даже не подозревали, что они древние) кучу закономерностей, ибо точность измерений позволяла.
В рамках применимости модели точность может быть разной для разных моделей. И я внятно и конкретно приводил примеры, когда ПРЯМОЕ измерение спектра, расстояния, времени даёт результат существенно точнее, нежели манипуляции с нумерованными символами.
Поэтому совершенно верно отмечая этот факт, не могу согласиться с тем, что из него следует невозможность получения знаний об абстрактном мире.
Это мой ответ на первый и пока единственный выдвинутый Вами аргумент - аргумент необщеприменимости (возможно) любой физической модели.

-- 16.10.2012, 06:44 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Может быть, попробуем всё-таки воспользоваться математикой?

Вы точно помните те примеры, которые я внятно описал? Вы и правда окажетесь способны точно вычислить спектр, скажем, молекулы глицина? Сомневаюсь. Тем не менее условия Вы можете задать точно. С увеличением вычислительных возможностей для некоторых молекул удалось приблизиться к результатам измерений для простейших молекул. Но ситуация такова, что не видно даже перспектив для решения этой задачи классическим вычислением для большинства случаев. Тем не менее, прямое измерение даёт это решение несравненно точнее.

-- 16.10.2012, 06:46 --

Someone в сообщении #631445 писал(а):

В истории физики было гораздо больше неадекватных моделей

Согласен. Опять же повторю мантру "при условии доверия к модели, описывающей это явление". Я писал об этом выше, но возможно придётся не один раз повторить эту же фразу.
Возвращаясь к математической модели, описывающей спектр излучения молекулы. Вся эмпирика говорит в настоящее время о том, что для значительной части многоатомных систем нет оснований сомневаться в точности задания условий. Проблема именно в вычислении. Это - довольно старая проблема. Можете спросить у профессиональных химиков.

Резюме. Пока услышал только один аргумент - проблема доверия к модели описывающей физической явление. Согласен, что это критически важно. Категорически не согласен с тем, что отсюда следует неприменимость использования информации, связанной с измерением к получению знаний об абстрактном мире.

[Ribocyte]

Someone в сообщении #631445 писал(а):

Давайте не будем идиотствовать.

Именно это я Вам и предложил.