кольца частных

[mostovoy1]

Добрый день! Мне необходимо разобраться в доказательстве следующего утверждения:

$$Nil(A)=\bigcap_{p\in A}p,$$

$p$ - простой идеал в кольце $A$

Я знаю, как доказать это через лемму Цорна, но тут я узнал, что это утверждение можно доказать с использованием колец частных. Помогите, пожалуйста, со вторым доказательством.
Заранее спасибо.

[apriv]

Возьмем какой-нибудь ненильпотентный элемент $a$ и рассмотрим локализацию нашего кольца в этом элементе. Там есть максимальный идеал, прообраз которого относительно гомоморфизма локализации прост и не содержит $a$. Как видим, лемма Цорна все равно нужна.

[mostovoy1]

Что такое локализация кольца в элементе?
спасибо.

[apriv]

mostovoy1 в сообщении #630255 писал(а):

Что такое локализация кольца в элементе?
спасибо.

Локализация кольца $A$ в элементе $f$ — это кольцо частных $A$ по мультипликативной системе, порожденной элементом $f$: $\{1,f,f^2,\dots\}$.

[mostovoy1]

Вроде понял, только не понимаю, к чему лемму Цорна применяем?

[apriv]

mostovoy1 в сообщении #630719 писал(а):

Вроде понял, только не понимаю, к чему лемму Цорна применяем?

Лемма Цорна заключена в словах «там есть максимальный идеал».

[mostovoy1]

Премного благодарен!