Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра

[nnosipov]

Vitalius в сообщении #630556 писал(а):

Можете припомнить мне как это доказывается?

Есть такая вещь --- степень точки относительно окружности.

[Vitalius]

Могли бы и какую-нибудь ссылку дать. Например так:

Есть такая вещь --- степень точки относительно окружности.

Так или иначе доказательство пока не видел.

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Даю ссылку на полезную брошюру:

Vitalius в сообщении #630642 писал(а):

Так или иначе доказательство пока не видел.

http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=& ... yw&cad=rjt

С уважением, Николай

[Vitalius]

Уважаемый Nikolai Moskvitin, извините, но несколько недели у меня не было время заниматься с Вашей задачи. Последний раз рассматривал вопрос об общем скрипте на Mathematica, который должен дать все интересующие нас координаты точек и расстояния между ними как функции от координат вершин тетраэдра. Но у меня скрипт ориентирован на системе (2a). А она, как уже говорил, даёт центры и радиусы всех вписанных сфер - та которая собственно внутри тетраэдра и те которые являются вне вписанными. Мне по возможности, всё-таки хочется что-то более элегантное - в смысле нахождения только центр и радиус собственно вписанной сфере. Ибо вне вписанные сферы в данном случае нас не интересуют. В связи с этим и рассматривал доказательство планиметрической теоремы Эйлера, вопрос о расширений которой в 3-мерном случае Вы поставили. С леммой, которая лежит в основанием этого доказательство разобрался - спасибо за ответы и подсказки которые дали! Однако пока не думал можно ли применить чего-нибудь от доказательство 2-мерного случая в общем случае где размерность пространства $n=3,4,5,...$. Надо посмотреть. Для правильного симплекса есть кое-что простое, которое можем напрямую применить. И это одна теорема, которая связывает объём $V_{n}$ правильного $n$-мерного многогранника с объёмом $V_{n-1}$ его (n-1)-мерной гранью. Согласно этой теореме:

$V_{n}=\frac{1}{n}V_{n-1}A_{n-1}r_{n}$,

где $A_{n-1}$ количество (n-1)-мерных граней, а $r_{n}$ - радиус вписанной сфере. Для любого тетраэдра (в частности и правильного) $n=3$, а $A_{n-1}=n+1=4$. Следовательно для радиус $r$ той сферы, что вписана в правильном тетраэдре, можем записать:

$V_{3}=\frac{4}{3}V_{2}r$,

где $V_{3}$ объём правильного тетраэдра, а $V_{2}$ "объём" (т.е. площадь) правильного треугольника, который является гранью данного правильного тетраэдра. К сожалению если тетраэдр произволен, то всё не так просто. Однако в этом случае радиус впис. сф. спущен к произвольной грани тетраэдра от его $i$-ой вершине (находящиеся вне данной грани), параллелен соответствующей высоты $h_{i}$. А через данную высоту и площадью грани к которой она спущена, можем выразить объём тетраэдра. Это наверное можем как-то использовать.

[Nikolai Moskvitin]

Vitalius, здравствуйте!

Сегодня возникла интересная идея, только не знаю, всё ли в порядке с математикой. Можно найти несколько различных числовых значения радиусов и расстояний как угодно- через рёбра, площади, и т.п. Затем рассмотреть трёхмерную систему координат и задать на её осях полученные числовые значения. Затем посмотреть, будет ли полученное множество точек непрерывной функцией (я основывался на том, что в принципе, например, $R^4$ в формуле не должно фигурировать по соображениям размерности).

[INGELRII]

Итак, утверждение, высказанное ТС в первом посте - неверно. Это было мне очевидно с самого начала. Но простой контрпример удалось придумать только сейчас. Начнем.

В качестве описанной сферы возьмем для простоты единичную сферу с центром в начале координат. А все рассмотренные ниже тетраэдры будем в нее вписывать. Тогда радиус описанной сферы, очевидно, для них будет один и тот же, и равен $1$. Теперь мы берем такой тетраэдр - координаты его вершин таковы: $(0, 0, 1), (\cos a, 0, \sin a), (-1/2 \cos a, \sqrt{3}/2 \cos a, \sin a), (-1/2 \cos a, -\sqrt{3}/2 \cos a, \sin a)$. Это тетраэдр, у которого основанием служит правильный треугольник, а высота, опущенная на это основание, попадает точно в его центр. Заметим, что (если только тетраэдр не является правильным) в общем случае центр вписанной в такой тетраэдр сферы не совпадает с центром описанной. Заметим также, что если значение параметра $a$ будет очень близко к $\pi/2$, то радиус вписанной сферы будет очень маленьким. При желании можно выписать формулу, показывающую зависимость этого радиуса $r(a)$. Я ее даже вывел, но она очень длинная. Предлагаю поверить на слово, что зависимость существует. Следовательно, если мы захотим, чтобы радиус вписанной сферы был равен, скажем, $0.001$, то мы можем подобрать нужное значение $a$ и построить тетраэдр указанного вида, так что радиус будет именно таким. И будет он лежать точно на оси $z$ очень близко к вершине $(0, 0, 1)$. Короче, примерно в точке $(0, 0, 0.999)$ с очень маленькой погрешностью. То есть искомое ТС расстояние между центрами вписанной и описанной сфер будет равно примерно $0.999$.

С этим покончили. А теперь рассмотрим другое семейство тетраэдров, чьи вершины записываются как $(\cos b, 0, \sin b), (\cos b, 0,-\sin b), (-\cos b, \sin b, 0), (-\cos b, -\sin b, 0)$. Очевидно, что центр вписанной сферы для всех них в точности совпадает с центром описанной! Кроме того, когда значение параметра $b$ очень близко к нулю, радиус вписанной сферы также будет очень мал. И снова можно выписать зависимость $r(b)$. Опять же можно подобрать такое значение $b$, что радиус будет равен все тому же $0.001$. Но у этого тетраэдра расстояние между центрами вписанной и описанной сфер будет равно в точности нулю!

И что мы в итоге видим? Два тетраэдра. Радиусы описанных сфер у них равны (единице). Радиусы вписанных сфер тоже равны (одной тысячной). Но расстояния между центрами этих сфер у каждого - разные: у первого $0.999$, у второго $0$.

Вот, собственно, и всё.

При желании можно найти, видимо, и кучу промежуточных вариантов, когда искомое расстояние будет равно чему угодно. Ну, почти чему угодно. Но это делать уже совсем лень.

[Nikolai Moskvitin]

Спасибо, Ingelrii! А я уже было начал штудировать теорию поверхностей :) Всё равно пригодится-для другого.

-- 18.12.2012, 11:47 --

Я ставлю ещё одну гипотезу (на самом деле возникшую вскоре после первой): расстояние между центрами вписанной и описанной сфер n-мерного симплекса зависит от числа параметров, меньшего, чем число рёбер этого симплекса :)