Откуда берутся функторы?

[xmaister]

Определение функтора дано такое:
Пусть $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$- некоторые категории, тогда ковариантным функтором $F$ из $\mathscr{A}$ в $\mathscr{B}$ называют правило, которое сопоставляет каждому $A\in\mathrm{Ob}(\mathscr{A})$ некоторый $F(A)\in\mathrm{Ob}(\mathscr{B})$ и каждому морфизму $f:A\to B$ морфизм $F(f): F(A)\to F(B)$ и, при этом, выполняются 2 аксиомы функтора.
Как такие функторы следует рассматривать? Что это за объект? Вот например отображение множеств $f:A\to B$ это тройка $\langle A, G_f, B\rangle$, т.е. малое множество и за пределы универсума мы не выходим, а в случае произвольных категорий не понятно, что функтор за объект и где он находится.

-- 14.10.2012, 04:43 --

Вот например рассмотрим категории $\mathcal{S}$ и $\mathcal{G}$ и каждой группе $\langle G,\cdot\rangle$ сопоставим множество $G$. Групповому гомоморфизму $\langle \langle G,\cdot\rangle,f,\langle G,\cdot\rangle\rangle$ отображение $\langle G, G_f, G'\rangle$ Ясно, что это будет ковариантным функтором.

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #630597 писал(а):

не понятно, что функтор за объект и где он находится.

Ой, лучше не задумываться над этим

Но формально функтор, как соответствие между классами, есть просто формула языка ZFC, которую мы мыслим не как конечную последовательность символов, а как её "реализацию"...

[xmaister]

Профессор Снэйп в сообщении #630608 писал(а):

Но формально функтор, как соответствие между классами, есть просто формула языка ZFC, которую мы мыслим не как конечную последовательность символов, а как её "реализацию"...

Я Вас совсем не понял . Классы же в ZFC не предусмотрены. Я пользуюсь универсумным вариантом ZFC, чтобы определять категории объектов, которые состоят из множеств с некоторой структурой. А вот если попытаться определять категорию всех категорий(такая есть?), то в качестве $\mathrm{Hom}$ов естественно выбрать функторы, но функторы- это же не множество,это вообще не пойми что

[Профессор Снэйп]

Функтор - это пара соответствий между классами. Соответствия задаются формулами ZFC. Поскольку собственно "классов" и "соответствий между классами" как объектов в ZFC нет, можете считать, что первичный объект - те самые формулы и изучая функторы, Вы изучаете свойства формул.

-- Вс окт 14, 2012 11:06:59 --

В ZFC каждое утверждение о классах, категориях, функторах можно переписать как утверждение о множествах. Например, вместо "$G$ принадлежит классу всех групп" говорить "$G$ - группа"... То же самое можно проделать со всей теорией категорий.