Сложное диофантово уравнение

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Сейчас пытаюсь решить очень сложное диофантово уравнение:
$4q_1a_1+r_1b_1+p_1c_1-4b_1p_1-c_1q_1-a_1r_1=0$
Составил матрицу:

$ \qquad \begin{Vmatrix} 4q_1 & r_1 & p_1 & -4b_1 & -c_1 & -a_1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{Vmatrix}$

​Данное равенство является частью системы, и можно условиться, какие знаки (неравенства) можно ставить между величинами. Пусть $r>q>p$, $c>b>a$ и$ r<c$, $a<p$

начал действовать согласно Нестеренко и получил:


$\qquad \begin{Vmatrix} -a_1 & 4q_1 & r_1 & p_1 & -4b_1 & -c_1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{Vmatrix} ​$$​$
Дальше возникли проблемы - коэффициенты сами неизвестны. Я решил всё же рискнуть: разделил с остатком на $-a_1$ все другие пять коэффициентов и получил диофантовы уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Вроде нашёл все их решения. Но можно ли действовать в соответствии с алгоритмом, который обычно используют для известных коэффициентов, для коэффициентов- параметров? Может получиться, что я выражу все переменные через пять других, и в конецном счёте получится система из 6 уравнений с параметром $t$ или это вообще ни к чему не приведёт?

И ещё- как неспециалисту объясните, очень ли существенен вид скобок в матрице?

С уважением, Николай

[Someone]

Nikolai Moskvitin в сообщении #628104 писал(а):

очень ли существенен вид скобок в матрице?

??? Подробнее, пожалуйста.

[Nikolai Moskvitin]

Someone в сообщении #628133 писал(а):

??? Подробнее, пожалуйста.

В учебнике мне встречалась матрица с круглыми скобками, ещё есть с квадратныи и такая, какую я использовал.

[ИСН]

Надо с круглыми.

[Someone]

А, Вы об этом. Нет, нисколько не существенно, какие скобки Вы используете. Для определителей обычно используют $|\cdot|$, для матриц - $(\cdot)$, $[\cdot]$ или $\|\cdot\|$. Я предпочитаю круглые. Если Вы хотите использовать другие, наверное, стоит предупреждать читателей об этом.

[ИСН]

$\|\cdot\|$ - это норма какая-то, а квадратных я вообще не видал.

[Someone]

$\|\cdot\|$ для обозначения матриц использует, например, Г.Е.Шилов. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. "Наука", Москва, 1969. Квадратные скобки тоже мне где-то попадались.

[Nikolai Moskvitin]

Добрый день!

Продолжаю решать- пока очень медленно: после второго шага получилось:

$\qquad \begin{Vmatrix} -a_1 & 4q_1+a_1t & r_1+a_1t & p_1+a_1t & -4b_1-a_1t & -c_1-a_1t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{Vmatrix} ​$

Комментарий: в двух предпоследних столбцах взят минус, иначе область определения t будет разная, что недопустимо для данной задачи ( или здесь вообще так выкрутиться нельзя?). Подскажите всё же, потому что трудно. Дальше ведь надо определять наименьшее, но я остановился, чтобы не сделать ошибки.

С уважением, Николай

[Nikolai Moskvitin]

Nikolai Moskvitin в сообщении #628750 писал(а):

Дальше ведь надо определять наименьшее

я пришёл к выводу, что придётся рассматривать...два случая: $a_1<p_1+a_1t$ и $a_1>p_1+a_1t$, поскольку частное меньше делимого (либо равно ему). Но в первом случае происходит фантастическая вещь:процесс "зацикливается": в самом деле, если попытаться разделить $4q_1+a_1t$ на $a_1$ и применить тот же шаг 2 из Нестеренко, получится то же число $4q_1$. Получается, придётся выбрать второй вариант? Может, и вправду, с параметрами не получится? Или тогда надо рассмотреть два случая: $a<p$ и $a>p$?
Пока что получается такая матрица:

$\qquad \begin{Vmatrix} p_1+a_1t & -a_1 & 4q_1+a_1t & r_1+a_1t & -4b_1-a_1t & -c_1-a_1t & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{Vmatrix}$
​
Я всё ещё верю в возможность решения этого уравнения!

[Nikolai Moskvitin]

Доброе утро!

Решил отказаться от матриц и решить просто. Выполнил замену, предварительно сгруппировав слагаемые:
$4q_1-r_1=k_1$
$r_1-4p_1=k_2$
$p_1-q_1=k_3$ и пришёл к уравнению:
$k_1a_1+k_2b_1+k_3c_1=0$
Перенёс последнее слагаемое в правую часть и выполнил замену:
$k_1a_1+k_2b_1=d$
Получил результат: $ b_1=k_1t$, $a_1=d-k_2t$, таким образом, $a_1=-k_3c_1-k_2t$, решил продолжать в том же духе.