Какое место в физике занимает геометрия?

[longstreet]

Munin в сообщении #628504 писал(а):

То есть да, о проективной геометрии физику стоит быть в курсе.

Понял, спасибо.

Munin в сообщении #628504 писал(а):

Я бы упирал на книги по физическим теориям, изложенным на геометрическом языке. Изучать геометрический язык заранее и per se сложно: не видно мотивации, и неясно, какие из вороха фактов будут потом нужны для физики, а какие нет. Вы постоянно произносите "геометрический язык", но ведь сами по себе это просто теории в себе, а языком становятся, только когда увязываются с физической теорией. То есть можно познакомиться с римановой геометрией из ОТО, с расслоениями - из калибровочной теории поля.

Интересная мысль, мне не очевидная. Т.е. лучше сразу изучать на материале? Но ведь обычно независимо изучение идёт, взять хотя бы то, как преподаётся математический анализ физикам: там и теоремы внутриматематические есть, и не говорится что многие законы потом через интегралы выражены будут...

Munin в сообщении #628504 писал(а):

Вы постоянно произносите "геометрический язык", но ведь сами по себе это просто теории в себе, а языком становятся, только когда увязываются с физической теорией.

А почему теории сами по себе языком не являются? Разве обязательна "увязка"?

-- 08.10.2012, 21:20 --

Разве можно изучать изложение физической теории на математическом языке, не изучив первоначально отдельно этот математический язык?

[longstreet]

Ещё один вопрос. Сосинский в своих лекциях и книге Geometries делает упор на окончание "S", т.е. на название "Геометрии", обозначая это тем, что как математический объект есть различные геометрии, а такого понятия как геометрия нету. Это имеет какой-то смысл? С одной стороны, очевидно, что "геометрия" - это собирательное название для различных геометрий; с другой стороны Сосинский зачем-то так специально этот поинт обозначает...

[Munin]

longstreet в сообщении #628547 писал(а):

Интересная мысль, мне не очевидная. Т.е. лучше сразу изучать на материале?

Ну не знаю, пусть сравнивают те, кто больше в преподавании провёл, и имел возможность сравнить результаты того и другого.

longstreet в сообщении #628547 писал(а):

Но ведь обычно независимо изучение идёт

Это обычно на младших курсах. В принципе, многие учебники физики написаны с таким расчётом, чтобы параллельно всю нужную математику ввести - хоть тяп-ляп, но чтобы читатели могли сразу сесть и рассчитывать. Теормеханика, электродинамика, СТО, ОТО, КМ, КТП, статфизика, ФТТ - все они, практически.

longstreet в сообщении #628547 писал(а):

взять хотя бы то, как преподаётся математический анализ физикам

жутко недостаточно :-) Векторный анализ, тензорный анализ, разложение Фурье, решение дифуров, работа с операторами - всё это требуется в физике на семестры и годы раньше того, как вводится в математике. Если вообще вводится.

longstreet в сообщении #628547 писал(а):

А почему теории сами по себе языком не являются? Разве обязательна "увязка"?

Ну вот возьмём те же определённые интегралы. Интегралы в физике - это поток, вес, пройденное расстояние, совершённая работа и многое другое. А в математике - практически только площадь или объём. Ну и зачем, спрашивается, их изучать? Куда интереснее неопределённые интегралы, дающие первообразную. В римановой геометрии есть факты, верные сами по себе, но неверные, если перейти к псевдоримановой геометрии, где одно направление становится направлением времени, с противоположной по знаку сигнатурой. Или, вот например, достижение Перельмана - рассматривает поток Риччи, полезную и важную штуку в римановой геометрии, но совершенно неинтересную в ОТО.

longstreet в сообщении #628547 писал(а):

Разве можно изучать изложение физической теории на математическом языке, не изучив первоначально отдельно этот математический язык?

Можно не первоначально, а одновременно. Представьте, вы учите английский десять лет, пытаетесь запомнить кучу слов, и попутно большинство забываете. Приехали в Англию - и ни бе, ни ме. А другой вариант: приехали в Англию, и прямо там на месте язык учите - все новые слова будут запоминаться, поскольку остро нужны и часто встречаются. Хотя конечно, это хуже: спешка, несистематичность.

longstreet в сообщении #628587 писал(а):

Сосинский в своих лекциях и книге Geometries делает упор на окончание "S", т.е. на название "Геометрии", обозначая это тем, что как математический объект есть различные геометрии, а такого понятия как геометрия нету.

Есть и геометрии как объект, и есть геометрия как часть математики, занимающаяся этими объектами. Это часто встречается: например, набор из множества и двух операций при некоторых условиях называется алгеброй, некоторая система множеств называется топологией, и т. п. Привыкнете.

[Rishi]

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

Действительно ли геометрия является универсальным языком физики?

Геометрия и вообще математика в физике - это компактный способ описания физической модели и ничего больше. То есть сначала должна быть физическая модель, а потом уже её математическое описание. Физике становится плохо, когда математика начинает забегать вперёд и запихивать в физику свои математические неологизмы. Потому что физика - экспериментальная наука. А с помощью какого эксперимента мы сможем узнать в каком мире мы живём, в 4-х мерном, 5-мерном или в каком-нибудь N-мерном?

[alcoholist]

Munin в сообщении #628677 писал(а):

А в математике - практически только площадь или объём. Ну и зачем, спрашивается, их изучать? Куда интереснее неопределённые интегралы, дающие первообразную.

у меня даже слов нет)))

[olenellus]

Rishi в сообщении #628705 писал(а):

А с помощью какого эксперимента мы сможем узнать в каком мире мы живём, в 4-х мерном, 5-мерном или в каком-нибудь N-мерном?

С помощью эксперимента Кавендиша, например.

[casualvisitor]

(Munin)

Munin в сообщении #628504 писал(а):

На основе одних структур может быть построена теория, опирающаяся на совсем другую интуицию. Например, линейная алгебра: основана на чисто алгебраических структурах, но представляет собой геометрию.

Какую «геометрию» представляет собой произвольный модуль над произвольным кольцом - основной объект линейной алгебры (или теория таких модулей, т.е. линейная алгебра)?

Какая «линейная алгебра» представляет собой произвольное топологическое пространство - один из наиболее фундаментальных геометрических объектов (или теорию таких пространств, т.е. общую топологию)?

Не предполагали ли Вы неявно, что и «линейная алгебра», которая «представляет собой геометрию», и эта «геометрия» суть объекты, построенные при помощи действительных чисел (или теории таких объектов)? Если да, то «разные интуиции» - на самом деле отнюдь не разные.

Вот три типа структур a la Bourbaki формализуют три действительно разных «интуиции». И какую-нибудь еще, независимую от этих трех, математическую «интуицию», по-моему, указать трудно.

[Munin]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #628725 писал(а):

у меня даже слов нет)))

Я утрирую, конечно, но вот с кругозором первокурсника - наверное, это примерно так и выглядит...

casualvisitor в сообщении #628813 писал(а):

Какую «геометрию» представляет собой произвольный модуль над произвольным кольцом - основной объект линейной алгебры (или теория таких модулей, т.е. линейная алгебра)?

Ну знаете... Я, конечно, не знаток математики, и понимаю всё не в самом общем смысле, но линейное пространство над полем, когда его рассказывают студентам, представляет собой нечто сродни евклидову пространству $n$ измерений. Если где-то при переходе к кольцам и модулям этот образ теряется, то я не в курсе. И мне странно, что это тогда называется всё ещё линейной алгеброй (а не просто кольцами и модулями).

casualvisitor в сообщении #628813 писал(а):

Вот три типа структур a la Bourbaki формализуют три действительно разных «интуиции». И какую-нибудь еще, независимую от этих трех, математическую «интуицию», по-моему, указать трудно.

Спасибо за ваши пояснения, но мне они мало что говорят.

[Yuri Gendelman]

Ilja в сообщении #628427 писал(а):

Хотя конечно написана для математиков, но отлична и по моему доступо для физиков:
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия [url]

Насколько я помню, авторы в предисловии писали, что предназначали этот курс для "современных физиков-теоретиков".

Еще я добавил бы: Б.Шутц. Геометрические методы математической физики.
В основном это о дифференцируемых многообразиях и их приложениях к механике, ур. Максвелла, термодинамике, ОТО, калибровочным полям.

[longstreet]

Yuri Gendelman в сообщении #628953 писал(а):

Еще я добавил бы: Б.Шутц. Геометрические методы математической физики.
В основном это о дифференцируемых многообразиях и их приложениях к механике, ур. Максвелла, термодинамике, ОТО, калибровочным полям.

О, звучит здорово, прям изложение геометрической концепции в физике! Спасибо!

[casualvisitor]

(Munin)

Munin в сообщении #628936 писал(а):

... линейное пространство над полем, когда его рассказывают студентам, представляет собой нечто сродни евклидову пространству $n$ измерений.

Вот поэтому, когда Вы сказали "линейная алгебра основана на чисто алгебраических структурах, но представляет собой геометрию", Вы имели в виду не "линейную алгебру", а "евклидово пространство $n$ измерений", т.е. объект, основанный НЕ ТОЛЬКО НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ, НО И НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ - конечномерный унитарный модуль над полем действительных или комплексных чисел, да еще снабженный скалярным произведением, а значит, и нормой, и метрикой, и топологией. Поэтому удивляться тому, что он "представляет собой геометрию" не приходится.

То, что введение алгебраической операции - скалярного произведения - приводит к появлению нормы-метрики-топологии тоже не должно удивлять, ибо результат этой операции - действительное или комплексное число, т.е. объект, в котором уже "перемешаны" алгебра и геометрия.

[В. Войтик]

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

Действительно ли геометрия является универсальным языком физики?

Выражу своё мнение. Мне кажется не надо переоценивать роль геометрии в физике. Более-менее плодотворным оно было только в ОТО. Попытки его применять к другим разделам физики пмсм успехом не увенчались. Рассматривая исторически процесс использования геометрических представлений человечеством можно заметить, что во времена Евклида считали, что сумма квадратов катетов всегда равна квадрату гипотенузы пр. треугольника. Другими словами использовали евклидову геометрию. Потом заметили, что при использовании больших расстояний это равенство нарушалось: геометрия поверхности Земли оказалась неевклидовой - сферической. Далее, Минковский установил, что пространство и время образуют единый континуум с псевдоевклидовой - плоской геометрией. Гильберт и Эйнштейн показали, что ничего подобного: геометрия на самом деле искривлённая.
Так вот: можно ожидать, что история на этом не закончилась и процесс развития знаний человечества повторится на новом этапе: с установления, что пространство является в некотором смысле плоским.

[Munin]

(Оффтоп)

casualvisitor в сообщении #628964 писал(а):

Вот поэтому, когда Вы сказали "линейная алгебра основана на чисто алгебраических структурах, но представляет собой геометрию", Вы имели в виду не "линейную алгебру", а "евклидово пространство $n$ измерений"

Нет, я не его имел в виду. Евклидова интуиция используется, но рассматривать можно пространство без евклидовой структуры, я имел в виду пространства как с ней, так и без неё.

casualvisitor в сообщении #628964 писал(а):

конечномерный унитарный модуль над полем действительных или комплексных чисел

Или рациональных, или рационально-комплексных. Так что не вижу, где здесь используется топология и норма-метрика. А вот интуиция геометрическая работает.

Я, конечно, дурак, но не надо меня за совсем дурака-то считать.

В. Войтик в сообщении #628992 писал(а):

Мне кажется не надо переоценивать роль геометрии в физике. Более-менее плодотворным оно было только в ОТО.

И ещё в десятках мест, но кому какое дело до правды?..

В. Войтик в сообщении #628992 писал(а):

во времена Евклида считали, что сумма квадратов катетов всегда равна квадрату гипотенузы пр. треугольника. Другими словами использовали евклидову геометрию. Потом заметили, что при использовании больших расстояний это равенство нарушалось: геометрия поверхности Земли оказалась неевклидовой - сферической. Далее, Минковский установил, что пространство и время образуют единый континуум с псевдоевклидовой - плоской геометрией. Гильберт и Эйнштейн показали, что ничего подобного: геометрия на самом деле искривлённая.
Так вот: можно ожидать, что история на этом не закончилась и процесс развития знаний человечества повторится на новом этапе: с установления, что пространство является в некотором смысле плоским.

Как увлекательно, все реально происходившие этапы уходили от плоскости, а вот в будущем, считает В. Войтик, процесс "повторится" и плоскость восторжествует. Это плоская мысль.

[В. Войтик]

Munin в сообщении #629003 писал(а):

И ещё в десятках мест, но кому какое дело до правды?..

А эти десятки мест разве привели к теориям уровня ОТО? Тогда пожалуйста расскажите про них.

Munin в сообщении #629003 писал(а):

Это плоская мысль.

Меня утешает, что кое-кто из крупных учёных со мной согласен.

[Munin]

В. Войтик в сообщении #629009 писал(а):

А эти десятки мест разве привели к теориям уровня ОТО?

Да.

В. Войтик в сообщении #629009 писал(а):

Тогда пожалуйста расскажите про них.

Все в теме о них знают, кроме вас. Более того, они уже были упомянуты в теме неоднократно. Если вы не в курсе, то просто не мешайтесь в обсужении не вашего уровня.

В. Войтик в сообщении #629009 писал(а):

Меня утешает, что кое-кто из крупных учёных со мной согласен.

Видимо, из нефизиков. Или столетней давности.