Решение диофантовых уравнений с несколькими параметрами

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Как решать линейные диофантовы уравнения с несколькими параметрами (в частности, совпадающими с неизвестными)?

Например, возьмём уравнение $ab+bc-ca=0$ Как его решать?

Если действовать согласно с стандартной схемой, надо составить матрицу, найти меньшее по абсолютной величине слагаемое, применить транспозиции и проч. и проч... Допустим, что известны знаки неравенств между величинами. Но даже в этом случае на вряд ли получится получить нули в первой строке. У меня даже была мысль задать предел, но не очень понятно, что к чему стремится. В общем, не знаю, что делать...

С уважением, Николай

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #628937 писал(а):

Например, возьмём уравнение $ab+bc-ca=0$ Как его решать?

Для начала определиться с набором неизвестных. Какие неизвестные в этом уравнении?

[Sonic86]

Если неизвестные все 3 переменные, то можно решать методом секущих: будет $x+y-xy=0, (x-1)(y-1)=1, y=1+\frac{1}{x-1}$, ну и все и возвращаемся к однородным переменным

[Nikolai Moskvitin]

Sonic86 в сообщении #628982 писал(а):

можно решать методом секущих: будет $x+y-xy=0, (x-1)(y-1)=1, y=1+\frac{1}{x-1}$

Спасибо! Только что собой представляют переменные x и y? И ещё- если параметров не 3, а целых шесть, причём они совпадают с шестью неизвестными, годится ли метод секущих? С чего тогда надо начинать?

(привожу для наглядности уравнение (являющееся частью системы!):
$4q_1a_1+r_1b_1+p_1c_1-4b_1p_1-c_1q_1-a_1r_1=0$

Для справки смотрите темы:

post628104.html#p628104
post582621.html#p582621

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Решал самыми неэффективными методами и получил странный результат:
$a_1=t_1t_3$
$b_1=t_1t_2t_3t_4$
$c_1=t_5t_2t_3+t_6t_2t_3$
$p_1=(t_2)^2+t_7$
$q_1=t_7$
$r_1=t_5t_2+4(t_2)^2+4t_7.$
$t_2=\frac{(-t_3t_4-t_5)}{4}$
При этом числа могут быть не взаимно простыми, но это не беда. Беда в неэффективности числового представления. Ещё мне странной показалась ассиметричность полученных выражений. Очень может быть, что ошибся. Проверять боюсь! Хорошо бы всё-таки, чтобы кто-нибудь помог мне разобраться в методах- я просто многократно применял замену.