Централизатор

[xmaister]

Пусть $G$- группа и $S\subset G$- произвольное множество. Положим, что $a,b \in G$ и $ab\in Z(S)$. Следует ли отсюда, что $ba\in Z(S)$?

[AV_77]

Если $Z(S)$ - централизатор множества $S$, то нет. Как пример $G = S_4$, $a =(123)$, $b = (34)$, $S = \{ ab \}$.

[xmaister]

Понял, спасибо! Очевидно, что если $ab\in Z(G)$, то $ab=ba$. Но $a$ и $b$ могут в таком случае в центре $G$ не содержаться?

[AV_77]

Могут, конечно. Тривиальный случай $b = a^{-1}$. Чуть менее тривиальный - если в качестве $G$ взять $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ и $a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ и $b = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.