Ленг и нормальность ядра гомоморфизма

[olenellus]

Прошу прощения за совсем простой вопрос. Читаю "Алгебру" Ленга, так как без алгебры в современном мире никуда...

В самом начале книги встречаю

Ленг в Алгебре писал(а):

Пусть $f:G\to G'$ — гомоморфизм групп и $H$ — его ядро. Для всякого элемента $x$ из $G$ выполняется равенство $xH=Hx$, что проверяется непосредственно исходя из определений. Мы можем также переписать это соотношение в виде $xHx^{-1}=H$.

Как это проверить из определений в таком порядке? У меня получается (для $h\in H$):
$f(xh)=f(x)\Rightarrow xhx^{-1}\in H\Rightarrow xHx^{-1}=H\Rightarrow xH=Hx$
А как наоборот?

[xmaister]

$H=\mathrm{Ker}(f)$, $x$- произвольное. $y\in xH\Leftrightarrow x^{-1}y\in H\Leftrightarrow f(x^{-1}y)=e'\Leftrightarrow f(x^{-1}y)=f(x^{-1}x)\Leftrightarrow f(yx^{-1})=e'$

[olenellus]

Ха-ха, точно. Спасибо!

[xmaister]

Или Вы хотите найти для нормальной гомоморфизм? Тогда это фактор-группа.

[olenellus]

Нет-нет, я хотел именно то, что Вы написали.