Оценка пси-функции Чебышева [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Читаю в книге В.Н. Чубарикова "Элементы арифметики" доказательство того, что $\psi(x)<x\ln 4$
Вводятся вспомогательные леммы:
Лемма 1.1. При $x\geqslant 1$ справедливы равенства:

$$T(x)=\sum \limits_{n\leqslant x} \ln n=\sum \limits_{m\leqslant x} \psi \left(\frac{x}{m}\right)$$

$$T(x)-2T\left(\frac{x}{2}\right)=\sum \limits_{n\leqslant x}(-1)^{n-1}\psi \left(\frac{x}{n}\right)$$

Лемма 1.2. При $x\geqslant 1$ справедливы неравенства:

$$\psi(x)-\psi\left(\frac{x}{2}\right)\leqslant T(x)-2T\left(\frac{x}{2}\right) \leqslant \psi(x)-\psi\left(\frac{x}{2}\right)+\psi\left(\frac{x}{3}\right)$$

Лемма 1.3. Для любого натурального числа $m$ имеем:

$$\frac{2^{2m}}{2\sqrt{m}}\leqslant C_{2m}^{m}<\dfrac{2^{2m}}{\sqrt{2m+1}}$$

Все эти леммы я понял и по ним нет вопросов. Теперь самое основное
.
Лемма 1.4. При $x\geqslant 1$ справедливо неравенство

$$\psi(x)<x\ln 4$$

Доказательство: Проверим утверждение леммы при $x\leqslant 16$ непосредственно. При $1\leqslant x<2$ оно очевидно, так как на этом промежутке нет простых чисел.
При $2\leqslant x<4$ имеем

$$\psi(x)\leqslant \ln 2+\ln 3<\frac{3}{2}\ln 4<x \ln 4$$

Если $4\leqslant x<7$, то

$$\psi(x)\leqslant 2\ln 2+\ln 3+\ln 5=\ln 60<3\ln 4<x \ln 4$$

Пусть теперь $7\leqslant x<11$. Тогда

$$\psi(x)\leqslant 3\ln 2+2\ln 3+\ln 5+\ln 7=\ln 2520<6\ln 4<x \ln 4$$

Пусть, наконец, $11\leqslant x\leqslant 16$, тогда

$$\psi(x)\leqslant 4\ln 2+2\ln 3+\ln 5+\ln 7+\ln 11+\ln 13=\ln 720720<10\ln 4<x \ln 4$$

Здесь тоже вроде все понятно. А вот начиная со следующей строки появляются очень смутные моменты
Проведем доказательство леммы индукцией по параметру $x$. При $x\leqslant 16$ ее утверждение справедливо. Предположим, что оно имеет место при $2\leqslant x \leqslant y-2$. Докажем, что утверждение леммы справедливо при $x\leqslant y$.
Возьмем ближайшее к $y$ четное число $2m$. Если $y=2r+1$, то положим $2m=2r+2$. Следовательно, $2m-1\leqslant y<2m+1$. Взяв в лемме 1.2 величину $x=2m$, получим

$$\psi(2m)\leqslant A+\psi(m), A=\ln C_{2m}^{m}$$

Поскольку $m\leqslant y-2, y>16$, воспользуемся предположением индукции. Находим

$$ \psi(2m)<2m\ln 2-\ln \sqrt{2m+1}+2m\ln 2=2m \ln 4-\ln \sqrt{2m+1}$$

Далее, если $2m<y$, то в силу выбора параметра $m$ имеем $y<2m+1$ и

$$\psi(y)=\psi(2m)<2m\ln 4<y\ln 4$$

Если же $2m\geqslant y$, то согласно выбору $m$ справедливы неравенства $y\geqslant 2m-$1 и

$$\psi(y)\leqslant \psi(2m)\leqslant 2m\ln 4-\ln\sqrt{2m+1}\leqslant y\ln 4+\ln 4-\ln(y+1)$$

Так как $y>16$, то $\ln 4\leqslant \ln \sqrt{y+1}$. Таким образом, лемма полностью доказана
Помогите пожалуйста разобраться.
Все оценки, полученные в лемме 1.4. мне понятны, но непонятно мне смысл доказательства.
- почему берут ближайшее четное число к $y$?

С уважением, Whitaker.

[Sonic86]

По ходу, инфа о $T(x)$ не нужна...
А вот $\psi$-функцию надо определить: $\psi(x)=\sum\limits_{p^k\leqslant x}\ln p$.

Whitaker в сообщении #628394 писал(а):

Все оценки, полученные в лемме 1.4. мне понятны, но непонятно мне смысл доказательства.

Я Вам предлагаю сначала отвлечься от несущественных деталей (даже от целочисленности чисел) и строгости доказательства именно для понимания его смысла.

Whitaker в сообщении #628394 писал(а):

$$\psi(2m)\leqslant A+\psi(m), A=\ln C_{2m}^{m}$$

Это основное утверждение. Если $f(x)\leqslant C+f(\frac{x}{2})$, то итерируем: $f(x)\leqslant C+f(\frac{x}{2})\leqslant 2C+f(\frac{x}{2^2})\leqslant ... \leqslant C\log_2x+f(\frac{x}{2^{\log_2x}})=D\ln x$

А константа $A=C_{2m}^m$ вот откуда: все простые $p:m<p\leqslant 2m$ имеют степень $1$ в $A$, а значит $\prod\limits_{m<p\leqslant 2m} p\leqslant C_{2m}^m$ Это, собственно, тоже основное тут...

Остальное - технические детали и строгость

[Whitaker]

Sonic86
Первые 2 шага итерации мне понятны:
А вот откуда возникает $C \log_2{x}+f\left(\frac{x}{2^{\log_2x}}\right)$?
Константа $A=C_{2m}^m$ взялась когда мы вместо $T(x)-2T\left(\frac{x}{2}\right)$ подставили $x=2m$
Я вроде так понял

[Whitaker]

Но вот эти технические детали я немного не догоняю...

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #628424 писал(а):

Константа $A=C_{2m}^m$ взялась когда мы вместо $T(x)-2T\left(\frac{x}{2}\right)$ подставили $x=2m$
Я вроде так понял

Можно и так.

Whitaker в сообщении #628424 писал(а):

Первые 2 шага итерации мне понятны:
А вот откуда возникает $C \log_2{x}+f\left(\frac{x}{2^{\log_2x}}\right)$?

Так просто
$f(x)\leqslant C+f(\frac{x}{2})\leqslant 2C+f(\frac{x}{2^2})\leqslant 3C+f(\frac{x}{2^3})\leqslant 4C+f(\frac{x}{2^4})\leqslant...$
Ну или так: по индукции доказываем, что $(\forall k)f(x)\leqslant kC+f(\frac{x}{2^k})$ и потом подставляем $k=\log_2x$.