Задача по функциональному анализу 2.

[3.14]

Задача вроде несложная, но я подзабыл. Найти ортогональную проекцию функции $f(t) = 1$ на плоскость, порожденную функциями $g(t) = e^t$ и $h(t) = e^{2t}$ в $L^2[0,1]$.
Я подумал, что я могу действовать как в обычных задачах по линалу, т е
$ f^{\parallel}(t) = a g(t) + b h(t)$ - ортогональная проекция. Тогда $f^{\perp}(t) = f(t) - f^{\parallel}(t) = f(t) - a g(t) - b h(t)$. Скалярно умножаем на $g(t)$ и на $h(t)$. В общем получили систему :

$$ \begin{pmatrix} (g(t),g(t))& (h(t),g(t)) \\ (h(t),g(t))& (h(t),h(t)) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (f(t),g(t)) \\ (f(t),h(t)) \end{pmatrix} $$

Далее вспоминаем скалярное произведение в $L^2[0,1]$. И ответ у меня получился :

$$ f^{\parallel}(t) = \frac {6(e+1)}{e^2 + 4e + 1} g(t) - \frac {6}{e^2 + 4e + 1} h(t) $$

Вопрос : можно ли было так действовать?

[vlad_light]

Тоже не уверен, но, по-моему, в ГП нужно просто разложить функцию в ряд Фурье. В Вашем случае -- это:

$$f(t)=\sum\limits _i (f,e_i)_{L^2(0,1)}e_i$$

где $e_i$ - базисные вектора, т.е. $g$ и $h$.

[3.14]

Что-то я не совсем понял..Получается вот так что ли :
$f(t) = (f,g(t))_{L^2[0,1]}g(t) + (f,h(t))_{L^2[0,1]}h(t) = g(t) \int\limits_{0}^{1} e^t dt + h(t) \int\limits_{0}^{1} e^{2t} dt = $ $= g(t) (e-1) + h(t) \frac{e^2 - 1}{2} $

[vlad_light]

Да. Получается так: у нас есть известный базис в Эль-два из экспонент. Поскольку пространство гильбертово -- мы можем его разложить в ортогональную сумму двух подпространств: в одном будут "е1" и "е2", а в другом -- все остальные. Аналогично, любой элемент можна разложить в этом пространстве в ряд Фурье. Вот мы и разложили еденичку в ряд Фурье, и взяли те коэффициенты, которые лежат в нашем пространстве, а все остальные равны нулю, поскольку то пространство ортогонально нашему.
Может где-то что-то напутал, поправьте, если что...

[3.14]

Теперь мне более ясно..Спасибо..Надеюсь это правильно..Тему пока закрывать не буду..Может люди что-нибудь еще подкинут)

[мат-ламер]

Вроде Фурье предполагает ортогональность базиса, но тему я внимательно не читал.

[vlad_light]

Цитата:

Вроде Фурье предполагает ортогональность базиса

Да, я перепутал с комплексной экспонентой... Подождите, пока кто-нибудь умный напишет

[3.14]

Так что получается в итоге?

[ИСН]

В чём вопрос? Можно ли ходить с левой ноги? Ну возьмите свою проекцию, да сделайте с неё тоже проекцию, туда же, ещё раз. Если получится то же самое - наверное, метод хороший. Если нет - нет.