2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 20:03 
Задача вроде несложная, но я подзабыл. Найти ортогональную проекцию функции $f(t) = 1$ на плоскость, порожденную функциями $g(t) = e^t$ и $h(t) = e^{2t}$ в $L^2[0,1]$.
Я подумал, что я могу действовать как в обычных задачах по линалу, т е
$ f^{\parallel}(t) = a g(t) + b h(t)$ - ортогональная проекция. Тогда $f^{\perp}(t) = f(t) -  f^{\parallel}(t) = f(t) - a g(t) - b h(t)$. Скалярно умножаем на $g(t)$ и на $h(t)$. В общем получили систему :
$$
\begin{pmatrix}
(g(t),g(t))&  (h(t),g(t)) \\
 (h(t),g(t))& (h(t),h(t))
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
 b
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(f(t),g(t)) \\
 (f(t),h(t))
\end{pmatrix}
$$
Далее вспоминаем скалярное произведение в $L^2[0,1]$. И ответ у меня получился :
$$
f^{\parallel}(t) = \frac {6(e+1)}{e^2 + 4e + 1} g(t) - \frac {6}{e^2 + 4e + 1} h(t) 
$$
Вопрос : можно ли было так действовать?

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 20:16 
Тоже не уверен, но, по-моему, в ГП нужно просто разложить функцию в ряд Фурье. В Вашем случае -- это:$$f(t)=\sum\limits _i (f,e_i)_{L^2(0,1)}e_i$$ где $e_i$ - базисные вектора, т.е. $g$ и $h$.

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 21:16 
Что-то я не совсем понял..Получается вот так что ли :
$f(t) = (f,g(t))_{L^2[0,1]}g(t) + (f,h(t))_{L^2[0,1]}h(t) = g(t) \int\limits_{0}^{1} e^t dt + h(t) \int\limits_{0}^{1} e^{2t} dt = $ $= g(t) (e-1) + h(t) \frac{e^2 - 1}{2} $

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 21:30 
Да. Получается так: у нас есть известный базис в Эль-два из экспонент. Поскольку пространство гильбертово -- мы можем его разложить в ортогональную сумму двух подпространств: в одном будут "е1" и "е2", а в другом -- все остальные. Аналогично, любой элемент можна разложить в этом пространстве в ряд Фурье. Вот мы и разложили еденичку в ряд Фурье, и взяли те коэффициенты, которые лежат в нашем пространстве, а все остальные равны нулю, поскольку то пространство ортогонально нашему.
Может где-то что-то напутал, поправьте, если что...

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 21:37 
Теперь мне более ясно..Спасибо..Надеюсь это правильно..Тему пока закрывать не буду..Может люди что-нибудь еще подкинут)

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 21:40 
Аватара пользователя
Вроде Фурье предполагает ортогональность базиса, но тему я внимательно не читал.

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 23:05 
Цитата:
Вроде Фурье предполагает ортогональность базиса

Да, я перепутал с комплексной экспонентой... Подождите, пока кто-нибудь умный напишет :D

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение07.10.2012, 23:10 
Так что получается в итоге? :-)

 
 
 
 Re: Задача по функциональному анализу 2.
Сообщение08.10.2012, 09:20 
Аватара пользователя
В чём вопрос? Можно ли ходить с левой ноги? Ну возьмите свою проекцию, да сделайте с неё тоже проекцию, туда же, ещё раз. Если получится то же самое - наверное, метод хороший. Если нет - нет.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group