Замкнутое подмножество

[kio]

Не знаю, как подступиться к задаче:
На плоскости задано произвольное ограниченное множество $A$. Пусть $E\subset\mathbb{R}^{2}$ есть множество всех точек $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ таких, что на плоскости можно построить прямоугольник со сторонами $x$ и $y$, содержащий множество $A$. Доказать, что $E$ является замкнутым подмножеством $\mathbb{R}^{2}.$

[Brukvalub]

Утв.: Плоское множество Е замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. Вот и докажите (это нетрудно:D), что Е содержит все свои предельные точки.

[alleut]

интуитивно понятные утверждения вводят меня в ступор.
1) замыкание любого множества замкнуто
(ясно, что оно содержит все свои предельные точки, т.к. содержит множество предельных точек исходного множества, но как это формально записать?)
2) замыкание мн-ва $A$ - нименьшее замкнутое множество, содержащее $A$
(тут, наверное, надо предположить, что существует меньшее, чем $clA$, замкнутое мн-во, содержащее $A$, но у меня не получается прийти к противоречию или показать, что оно совпадает с $clA$)

[Виктор Викторов]

Во-первых, мне приятнее пользоваться понятием граничной точки и точки прикосновения, как при определении замкнутого множества, так и при определении замыкания множества. Вот определения.

Определение. Точка называется граничной точкой множества М, если каждая ее окрестность содержит как точки данного множества М, так и точки его дополнения CM.

Определение. Точка топологического пространства называется точкой прикосновения множества М, если каждая ее окрестность имеет непустое пересечение с множеством М.

Определение. Множество всех точек прикосновения множества М называется замыканием множества М и обозначается [М].

Во-вторых множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки.

Замыкание множества [М] и само М разнятся на граничные точки множеству М не принадлежащие. Рассмотрим множество L содержащее М и содержащееся в [М]. Множество L не содержит, как минимум одну граничную точку М ему не принадлежащую. А каждая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие М, так и не принадлежащие ему (как минимум саму себя). Следовательно, эта точка граничная и для L и ему не принадлежит. Следовательно, L не замкнуто.

Аналогично попробуйте доказать, что замыкание любого множества замкнуто.

Что касается «множество всех точек (x, y) таких, что на плоскости можно построить прямоугольник со сторонами x и y», то я не понимаю о чём речь. Объясните, пожалуйста.

[ASA]

Виктор Викторов писал(а):

Что касается «множество всех точек (x, y) таких, что на плоскости можно построить прямоугольник со сторонами x и y», то я не понимаю о чём речь. Объясните, пожалуйста.

А так и понимать. Если существует прямоугольник $P_{x,y}$,где $x,y$ - длины его сторон, такой, что $A\subset P_{x,y}$, то $(x,y)\in E$. В противном случае, $(x,y)\notin E$.

[ASA]

Сдается мне, что

$$E=\{(x,y):\quad x\geqslant a,\,y\geqslant b \vee x\geqslant b,\,y\geqslant a\}$$

для некоторых $a\geqslant 0,\,b\geqslant 0.$

[ewert]

ASA в сообщении #205405 писал(а):

Сдается мне, что

$$E=\{(x,y):\quad x\geqslant a,\,y\geqslant b \vee x\geqslant b,\,y\geqslant a\}$$

для некоторых $a\geqslant 0,\,b\geqslant 0.$

Ну нет. Скажем, если $A$ -- это отрезок, то $E$ -- внешность круга. А если $A$ -- круг, то $E$ -- это внешность квадрата. Нигде ведь не сказано, что стороны прямоугольников должны быть параллельны координатным осям.

Вроде действительно нетрудно; правда, с некоторыми нюансами. Берём любую сходящуюся последовательность точек $(x_k,y_k)\in E$; пусть $R_k$ -- любой из прямоугольников, представляющих соответствующую точку. Выбираем подпоследовательность, по которой для этих прямоугольников сходятся углы наклона, а из неё, в свою очередь -- подпоследовательность, по которой сходятся и "точки привязки" (скажем, крайние нижние вершины или ещё чего-нибудь, в зависимости от предельного наклона).

Получаем в пределе некоторый вполне конкретный прямоугольник $R^*$, который, как хотелось бы, должен накрывать множество $A$. Ну так и накрывает: в противном случае $A$ выступало бы за пределы $R^*$ на некоторое ненулевое расстояние, а тогда и все члены последовательности $R_k$, начиная с некоторого номера, не могли бы включать в себя $A$ целиком.

Всё это, разумется, если прямоугольники предполагаются замкнутыми. А иначе утверждении просто неверно.

[ASA]

ewert писал(а):

Скажем, если $A$ -- это отрезок, то $E$ -- внешность круга.

А как это согласуется с тем, что отрезок можно накрыть самим этим отрезком, т.е прямоугольником одно измерение которого равно нулю, а другое --- длине отрезка.

Добавлено спустя 28 минут 50 секунд:

Впрочем, прекрасно согласуется. И действительно внешность круга. В первой четверти только.

ASA писал(а):

Сдается мне, что

$$E=\{(x,y):\quad x\geqslant a,\,y\geqslant b \vee x\geqslant b,\,y\geqslant a\}$$

для некоторых $a\geqslant 0,\,b\geqslant 0.$

Сказал, не подумав.