Индукция и теория

[boomeer]

1)$2^n>(1+x)^n+(1-x)^n$
$|x|<1, n\geq 2$

Проверяем для $n=2$ и потом для $n+1$ получаем $2\cdot 2^n=(1+x)(1+x)^n+(1-x)(1-x)^n$.
А как теперь это доказать?...

2) как доказать, что всякую ограниченную последовательность можно разбить на счетное множество последовательностей имеющих один и тот же предел?

[AV_77]

boomeer в сообщении #627976 писал(а):

1)$2^n=(1+x)^n+(1-x)^n$
$|x|<1, n \geq 2$

Это не верно, так что доказать не получится.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 0.5%29%5E2

[boomeer]

AV_77 в сообщении #627984 писал(а):

boomeer в сообщении #627976 писал(а):

1)$2^n=(1+x)^n+(1-x)^n$
$|x|<1, n \geq 2$

Это не верно, так что доказать не получится.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 0.5%29%5E2

Упс, очепятка - знак не равно, а $>$

[AV_77]

$(1+x)^{n+1} + (1-x)^{n+1} \leq ((1+x) + (1-x))((1+x)^n + (1-x)^n)$

[Shadow]

(Оффтоп)

Вообще задача на доказательство: $(a+b)^n>a^n+b^n$ И доказывать индукцией все равно что брится лопатой. Не то что нельза но...

[boomeer]

Shadow в сообщении #628058 писал(а):

(Оффтоп)

Вообще задача на доказательство: $(a+b)^n>a^n+b^n$ И доказывать индукцией все равно что брится лопатой. Не то что нельза но...

А расскажите, как иначе? Я не знаю...

[gris]

2) Ограниченная последовательность имеет частичный предел, то есть сходящуюся подпоследовательность. Ну а теперь используя её в качестве основы (вернее, счётного количества основ) можно явно построить все подпоследовательности.

[Shadow]

boomeer в сообщении #628078 писал(а):

Shadow в сообщении #628058 писал(а):

(Оффтоп)

Вообще задача на доказательство: $(a+b)^n>a^n+b^n$ И доказывать индукцией все равно что брится лопатой. Не то что нельза но...

А расскажите, как иначе? Я не знаю...

Если Вы серьезно, то для натуральных n можно воспользоватся биномом Ньютона. А для действительных $n>1$ (и положительных a,b), если $a \ge b$, можно поделить на $a^n$ и доказать что при $0<\alpha \le 1$
$\\(1+\alpha)^n>1+\alpha\\ 1+\alpha^n \le 1+\alpha$

[boomeer]

Цитата:

Shadow в сообщении #628117 писал(а):

А расскажите, как иначе? Я не знаю...

Если Вы серьезно, то для натуральных n можно воспользоватся биномом Ньютона. А для действительных $n>1$ (и положительных a,b), если $a \ge b$, можно поделить на $a^n$ и доказать что при $0<\alpha \le 1$
$\\(1+\alpha)^n>1+\alpha\\ 1+\alpha^n \le 1+\alpha$

Я не пойму, как это применить к исходному условию... Расписать скобки по биному, ииии...?