Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

Masik в сообщении #627781 писал(а):

Согласен, есть этические проблемы. Присланные решения должны быть проверяемыми. Иначе профессор не отмоется от подозрений, действительно ли студентка сдала ему зачёт, или оказала услуги иного рода.

Скабрезных намеков не понял.

Цитата:

Цитата:

Выкладывать все решения заведомо не имеет смысла. Очень многие похожи друг на друга больше, чем числа 638 и 568

Хоть я и не Станиславский, но не верю. У каждого автора свой стиль, и стиль письма зачастую говорит о характере автора больше, чем содержательная часть.

Ты вспомнил Станиславского, а я Жванецкого: "Давайте спорить о вкусе устриц с теми, кто их ел"

Цитата:

Прочитав чужой ответ, я получаю возможность в чём-то не согласиться с автором, а сейчас я могу спорить только с ведущим, с которым спорить - дохлый номер (не раз проверял), поэтому не интересно.

Спорить бесполезно. Но переубедить можно
Достаточно сравнить нынешние и старые (фидошные) правила Марафона и вспомнить, под чьим воздействием они изменились.

Цитата:

Цитата:

ЗЫ: Маленький технический вопрос. Раньше у меня не было возможности прикручивать файлы, а сейчас есть. Она есть у всех или только у более равных форумчан?

У себя я такой кнопки не вижу. Это не значит, что её нет, может быть, есть, но я не знаю, где.

Значит, нет. Если не принимать во внимание вариант "Слона-то я и не приметил".

Цитата:

Не знаю. Это уже другая задача. Может быть, ММ174?

Тогда уж ММ250. Раньше я не справлюсь.

Впрочем, судить о том, сильно ли другая, рано. Сначала решить надо.

[Masik]

VAL в сообщении #627876 писал(а):

Masik в сообщении #627781 писал(а):

Согласен, есть этические проблемы. Присланные решения должны быть проверяемыми. Иначе профессор не отмоется от подозрений, действительно ли студентка сдала ему зачёт, или оказала услуги иного рода.

Скабрезных намеков не понял.

Пол помыла, например. По-английски "чистый пол" - это, кажется, "pure sex".
Присланные решения должны быть проверяемыми. Посмотреть ход чужих мыслей должен иметь право не только ведущий.

Цитата:

Цитата:

Хоть я и не Станиславский, но не верю. У каждого автора свой стиль, и стиль письма зачастую говорит о характере автора больше, чем содержательная часть.

Ты вспомнил Станиславского, а я Жванецкого: "Давайте спорить о вкусе устриц с теми, кто их ел"

Так, дайте же и пролетариату попробовать устриц! Может, понравятся.
Вот, например, сейчас проходит ежегодный головоломочный матч между Россией и Украиной (Анатолий Казмерчук в курсе). Каждый год я три месяца вымучиваю и облизываю задачу. Потом получаю ответ: "У соперников результат хуже". А что за результат, каким был способ решения, - не сообщается. Получается, что эту задачу я решал "тихо сам с собою". Сам с собою я могу общаться и без Интернета.

Цитата:

Цитата:

Цитата:

ЗЫ: Маленький технический вопрос. Раньше у меня не было возможности прикручивать файлы, а сейчас есть. Она есть у всех или только у более равных форумчан?

У себя я такой кнопки не вижу. Это не значит, что её нет, может быть, есть, но я не знаю, где.

Значит, нет. Если не принимать во внимание вариант "Слона-то я и не приметил".

С моим зрением не приметить слона - легче лёгкого. Пусть другие посмотрят.

[VAL]

Masik в сообщении #627896 писал(а):

Присланные решения должны быть проверяемыми. Посмотреть ход чужих мыслей должен иметь право не только ведущий.

Согласен. Но только при одном важном условии: этого хочет автор решения.

Цитата:

Цитата:

Ты вспомнил Станиславского, а я Жванецкого: "Давайте спорить о вкусе устриц с теми, кто их ел"

Так, дайте же и пролетариату попробовать устриц!

Опять согласен. Но только после проверки их качества санэдипемстанцией

Цитата:

Вот, например, сейчас проходит ежегодный головоломочный матч между Россией и Украиной (Анатолий Казмерчук в курсе). Каждый год я три месяца вымучиваю и облизываю задачу. Потом получаю ответ: "У соперников результат хуже". А что за результат, каким был способ решения, - не сообщается. Получается, что эту задачу я решал "тихо сам с собою". Сам с собою я могу общаться и без Интернета.

Но по Интернету круче!

Повторяю, я не против предъявления всех решений. Тем более, что теперь это технически не сложно. Но:
1. "За" должны быть участники Марафона. А они пока отмалчиваются.
2. Среди решений часто встречаются практически одинаковые. Если, конечно, не считать, что кто-то шлет pdf-файлы, кто-то doc-файлы, кто-то оформляет решение прямо в теле письма или личного сообщения, а некоторые (ты не поверишь! ) чередуют все указанные способы.

[Masik]

VAL в сообщении #628138 писал(а):

Masik в сообщении #627896 писал(а):

Присланные решения должны быть проверяемыми. Посмотреть ход чужих мыслей должен иметь право не только ведущий.

Согласен. Но только при одном важном условии: этого хочет автор решения.

Если автор стесняется своего решения, это наводит на некоторые сомнения. Когда вложишь душу в своё творение, всегда хочется поделиться со всем миром. а если не хочется - значит сделал кое-как, без души. За это - сразу минус балл! Все сразу будут счастливыми, как миленькие! Ты же сам постоянно жалуешься на неактивность обсуждения. А что обсуждать-то? Только препарированные тобой и пересказанные твоими словами решения? Получается общение форумчан не друг с другом, а только через ведущего.

Цитата:

Повторяю, я не против предъявления всех решений. Тем более, что теперь это технически не сложно. Но:
1. "За" должны быть участники Марафона. А они пока отмалчиваются.

Раз отмалчиваются, значит им всё равно. Можно считать молчание знаком согласия.

Цитата:

2. Среди решений часто встречаются практически одинаковые. Если, конечно, не считать, что кто-то шлет pdf-файлы, кто-то doc-файлы, кто-то оформляет решение прямо в теле письма или личного сообщения, а некоторые (ты не поверишь! ) чередуют все указанные способы.

Вот, практически одинаковые письма очень хочется посмотреть. Не верится, что два разных автора имеют одинаковые стили письма, разве что наша система народного оболванивания образования приносит плоды "стрижки всех под одну гребёнку".
Насчёт форматов, княже, ты только скажи, какой формат тебе больше люб, я только в нём и буду присылать. Вот, например, ответ на ММ166 можно прислать только в pdf, поскольку в нём есть формулы, а твой доисторический Word их не понимает.
Насчёт вложений. Вот, что я, взяв лупу, обнаружил в правом нижнем углу страницы.
Вы можете начинать темы
Вы можете отвечать на сообщения
Вы можете редактировать свои сообщения
Вы можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

[VAL]

Masik в сообщении #628638 писал(а):

Если автор стесняется своего решения

... значит, он скромный, застенчивый человек. И моя задача - не отпугнуть его от Марафона. Участников надо беречь!

Цитата:

Когда вложишь душу в своё творение, всегда хочется поделиться со всем миром.

Такие решения обязуюсь впредь выкладывать сразу же. А если проморгаю - по первому требованию автора. Впрочем, по требованию автора готов выложить любые решения.

Цитата:

Ты же сам постоянно жалуешься на неактивность обсуждения. А что обсуждать-то? Только препарированные тобой и пересказанные твоими словами решения?

Ну, умные люди всегда найдут, что пообсуждать. Например, правила Марафона

Цитата:

Цитата:

Повторяю, я не против предъявления всех решений. Тем более, что теперь это технически не сложно. Но:
1. "За" должны быть участники Марафона. А они пока отмалчиваются.

Раз отмалчиваются, значит им всё равно. Можно считать молчание знаком согласия.

... с существующим положением

Цитата:

Вот, практически одинаковые письма очень хочется посмотреть.

Только не письма, а решения. В архивах копаться лень. Как только появятся новые близнецы, (а они появятся!) - приведу.

Цитата:

Не верится, что два разных автора имеют одинаковые стили письма

разве мы стили обсуждаем?

Цитата:

Разве что наша система народного оболванивания образования приносит плоды "стрижки всех под одну гребёнку".

"Систему", конечно, есть за что попинать. Но бывают задачи, в которых наиболее естественен какой-то один способ решения.

Цитата:

Насчёт форматов, княже, ты только скажи, какой формат тебе больше люб, я только в нём и буду присылать. Вот, например, ответ на ММ166 можно прислать только в pdf, поскольку в нём есть формулы, а твой доисторический Word их не понимает.

Разве я предъявлял претензии? Просто пример привел. В каком формате удобно, в таком и присылай. Кроме rtf. Вложения с таким расширением, оказывается, запрещены.

Цитата:

Насчёт вложений. Вот, что я, взяв лупу, обнаружил в правом нижнем углу страницы.
Вы можете начинать темы
Вы можете отвечать на сообщения
Вы можете редактировать свои сообщения
Вы можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Понятно.
Значит, предлагать желающим самостоятельно выкладывать свои решения не буду.

Кстати, вялость обсуждения, на мой взгляд, вызвана не форматом разбора и обсуждения, а узостью круга марафонцев.
Самое бурное в истории Марафона обсуждение пришлось на одну из задачек седьмого тура. Ничем не выдающуюся. Кроме одного обстоятельства - на нее пришло много ответов.

Однако мои периодические попытки расширения круга марафонцев заканчиваются неудачей. Единственный известный мне способ - снижение уровня задач. Но такие задачи не интересны корифеям. А терять их я не хочу.

[Masik]

VAL в сообщении #628711 писал(а):

разве мы стили обсуждаем?

Опять скажу. Спорить с тобой, что именно мы обсуждаем, - дохлый номер.

Masik в сообщении #627781 писал(а):

Хоть я и не Станиславский, но не верю. У каждого автора свой стиль, и стиль письма зачастую говорит о характере автора больше, чем содержательная часть. Прочитав чужой ответ, я получаю возможность в чём-то не согласиться с автором, а сейчас я могу спорить только с ведущим, с которым спорить - дохлый номер (не раз проверял), поэтому не интересно. Впрочем, всегда можно "голосовать ногами".

Цитата:

Кстати, вялость обсуждения, на мой взгляд, вызвана не форматом разбора и обсуждения, а узостью круга марафонцев.
Самое бурное в истории Марафона обсуждение пришлось на одну из задачек седьмого тура. Ничем не выдающуюся. Кроме одного обстоятельства - на нее пришло много ответов. Однако мои периодические попытки расширения круга марафонцев заканчиваются неудачей. Единственный известный мне способ - снижение уровня задач. Но такие задачи не интересны корифеям. А терять их я не хочу.

Ну, заведи две лиги. Сортировать участников по лигам не обязательно, сами себя отсортируют. Пусть, каждый, кто в текущем туре отправил ответ на задачу премьер-лиги, автоматически лишается всех баллов, заработанных им в этом туре в высшей лиге (сам себя перевёл в другую лигу). Тогда корифеи не будут мешать новичкам.

[VAL]

========= 165 ==========

ММ165 (РК-5) (7 баллов)

По мотивам задачи ММ74

Вася и Петя поспорили.
Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого правильные многоугольники, а все 15 ребер имеют длину 1 заведомо больше объема каждого из выпуклых многогранников, о которых идет речь в задаче ММ74. Петя же утверждает, что не больше, а меньше.
В качестве третейского судьи позвали Федю. Подумав, Федя пришел к выводу, что возможны разные типы выпуклых многогранников с 15-ю единичными ребрами, все грани которых - правильные многогранники. Для одних объем, заведомо больше объема любого из многогранников из ММ74, а для других - наоборот меньше.
Кто прав?

Решение

Объемы многогранников из задачи ММ74 равны соответственно $\frac{2+\sqrt 2}{3 \sqrt[4]2}\approx 0.957$ (антипризма) и $1+\frac{\sqrt 2}6\approx 1.236$ ("домик").
Объем правильной пятиугольной призмы, боковая грань которой - квадрат со стороной 1, примерно равен $1.7$, поэтому Петя не прав.
Объем правильной пятиугольной бипирамиды, боковая грань которой - правильный треугольник со стороной 1, равен примерно $0.603$, поэтому Вася тоже не прав.
На этой стадии мы можем констатировать, что Федя прав. Тем участникам, кто не согласен с таким выводом (а, судя по присланным решениям, их большинство), рекомендую еще раз прочитать утверждение Феди.

Обсуждение

Задача содержала ловушку, в которую угодили даже опытные марафонцы. Естественным образом возникает вопрос: не существует ли подходящего многогранника, объем которого больше объема антипризмы, но меньше объема "домика". Оказывается, такой многогранник существует. А то, что его существование не противоречит утверждению Феди, отходит на второй план.

Выясним, какие же еще выпуклые многогранники можно составить из 15-и единичных ребер так, чтобы все грани были правильными многоугольниками.

Кроме, пятиугольной бипирамиды существует еще один "Петин" многогранник. Это правильная треугольная призма с квадратными боковыми гранями, к основаниям которой пристроены правильные тетраэдры. Ее объем равен примерно $0.67$.

Наибольший интерес представляют два многогранника.

О существовании первого (он называется "triangular cupola") не догадываются Вася и Петя, а возможно и Федя.

Его нашли Сергей Половинкин, Олег Полубасов, Виктор Филимоненков и Николай Дерюгин.
Для его описания и простого нахождения объема возьмем куб со стороной $\sqrt 2$ и разрежем пополам сечением, проходящим через центр диагонали перпендикулярно к ней. Объем одной части, очевидно, равен $\sqrt 2$.
Нижним основанием нашего многогранника возьмем шестиугольник, получивший в сечении. В качестве вершин верхнего основания возьмем середины уцелевших при рассечении куба ребер.
Теперь для получения нашего многогранника осталось только отсечь четыре уголка бывшего куба. Объем каждого, очевидно, равен $\frac{\sqrt2}{24}$.
Окончательно объем нашего многогранника равен $\sqrt 2 - 4\frac{\sqrt2}{24}=\frac56\sqrt2\approx 1.18$, т.е больше, чем у четырехугольной антипризмы, и меньше, чем у "домика".

Еще один подходящий многогранник (он называется "Tridiminished icosahedron") обнаружили Анатолий Казмерчук и Николай Дерюгин. (Но не Петя. Знакомы ли с ним Вася с Федей - неизвестно.)

Этот многогранник можно получить из правильной пирамиды с ребром основания 2 и высотой $\sqrt{ctg\frac{\pi}{10}-\frac13}$.
Для этого надо отрезать верхушку пирамиды (по средним линиям боковых граней) и три тетраэдра у оснований (сечения нужно проводить через середины ребер основания и точки на боковых ребрах, удаленные от этих середин на 1).
Непосредственно проверяется, что все грани оставшегося многогранника - правильные многоугольники со стороной 1.
Объем этого многогранника примерно равен $1.277$ (у Анатолия Казмерчука при совпавших промежуточных результатах почему-то получилось $1.194$).

Как сказано в комментариях к задаче ММ74, существует ровно 92 джонсоновых многогранника (джонсоновыми называются выпуклые многогранники, отличные призм, антипризм, платоновых и архимедовых тел, у которых все грани правильные многоугольники).
Четыре из них имеют по 15 ребер. Вместе с пятиугольной призмой они дают все подходящие многогранники.
В частности, не годится еще один многогранник, "найденный" некоторыми марафонцами (в ряды которых затесался, было, и ведущий): Это правильные октаэдр и тетраэдр, склеенные по грани.
Прикинув "на глазок", я решил, что такая комбинация дает выпуклый многогранник. В принципе так и оказалось...
Только вот один из углов между гранями получается развернутым. Поэтому две треугольные грани сливаются в одну, имеющую форму ромба. К тому же, ребер остается всего 14, так как одно превращается в диагональ грани.
Не годится (просто не проходит по числу ребер) и "верхушка ромбокубооктаэдра", предложенная одним из участников.

Расскажу о том, как возникла задача.
Сначала я обнаружил triangular cupola и увидел, что его объем, в отличие от объемов "очевидных" многогранников, находится между объемами многогранников из ММ74.
Я решил обыграть это обстоятельство и ввел Федю, который по замыслу тоже должен был ошибиться. Но никак не мог нормально сформулировать соответствующее утверждение Феди. После очередного "все выпуклые многогранники, имеющие по 15 ребер, длина каждого из которых равна 1, и такие, что каждая грань является правильным многоугольником, можно разбить на два класса так, что объем любого многогранника из первого класса меньше объема каждого из многогранников, о которых говорится в задаче ММ74, а объем любого многогранника из другого класса...", я плюнул, решил, что Федя не Дедекинд, и пришел к мысли о задаче с подвохом.

Награды

Передо мной стояла трудная задача.
С самого начала я планировал, что максимальный балл будет ставится либо за правильное решение (что естественно) без излишеств, либо за полное описание всех выпуклых 15-реберных многогранников, все грани которых правильные многоугольники (даже если это описание будет снабжено выводом, ущемляющим Федю). За полное описание и правильный вывод "в одном флаконе" предполагались дополнительные баллы.
Но все оказалось не так просто. Например, Николай Дерюгин нашел все подходящие многогранники. И сделал правильный вывод. Но у меня сложилось впечатление, что основой этого вывода стала вычислительная ошибка при нахождении объема triangular cupola.
После мучительных раздумий баллы распределены так:
За правильное решение задачи Алексей Волошин получает 7 призовых баллов. Столько же получает Николай Дерюгин за более полное и формально тоже правильное решение. Виктор Филимоненков, Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов, а Сергей Половинкин ("обнаруживший" пару лишних многогранников) - 5 призовых баллов (за один, "обнаоуженный" еще и ведущим, балл не снимался).

эстетическая оценка задачи - 4.1 балла

[VAL]

======================================
Итоговое положение участников в тематическом конкурсе
XVII тура Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& РК1 & РК2 & РК3 & РК4 & РК5 & \Sigma \\ \hline 1.& Олег Полубасов & 3 & 4 & 5 & 9 & 6 & 27 \\ \hline 2.& Алексей Волошин & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 24 \\ \hline 3.& Анатолий Казмерчук & 2 & 4 & 5 & 6 & 6 & 23 \\ \hline 4.& Виктор Филимоненков & 2 & 4 & 4 & 6 & 6 & 22 \\ \hline 5.& Сергей Половинкин & 3 & 4 & 3 & 6 & 5 & 21 \\ \hline 6.& Евгений Гужавин & 3 & 4 & 4 & - & - & 11 \\ \hline 7.& Николай Дерюгин & 2 & - & - & - & 7 & 9 \\ \hline 8.& Дмитрий Пашуткин & 3 & - & - & - & - & 3 \\ \hline \end{tabular}

[Masik]

Вот теперь респект! С огромным удовольствием посмотрел картинки и формулы от Николая Дерюгина. Именно то, чего хотелось! И сразу же возник вопрос для обсуждения. Я полагал, что Вася, Федя и Матрёна - это всё чешуя, художественное оформление задачи, а сама задача состоит в том, чтобы найти все выпуклые многогранники с 15 рёбрами и их объёмы. Поэтому я недоумеваю, за что Алексей Волошин получил свои баллы, ведь он прислал описание всего двух многогранников и даже не прислал наиболее интересного.
Даже если подходить формально, то Федя тоже не прав. Многогранники с 15 единичными ребрами, все грани которых - правильные многоГРАНники, невозможны.
На мой взгляд, правильный ответ: "Возможны разные типы выпуклых многогранников с 15 единичными ребрами, все грани которых - правильные многоУГОЛЬники. У двух объем, заведомо больше объема любого из многогранников из ММ74, у двух -, наоборот, меньше, а для одного - посередине".
У нас в этом туре ещё много интересных задач, но если правильным ответом будет считаться формальный ответ, то я пересмотрю своё решение ММ167 и не буду перечислять все варианты, оставлю только варианты с разными значениями k (жаль, таблице придётся сделать обрезание). А ММ170, вообще, умрёт, потому что, как мне до сих пор казалось, в ней главное найти не формальный ответ, а наиболее элегантный способ ручного решения. Ответ, как тебе известно, я знаю. Мне продолжать искать способ, или в Марафоне это теперь лишено смысла?

[VAL]

Masik в сообщении #629698 писал(а):

Вот теперь респект!

Я старался!

Цитата:

С огромным удовольствием посмотрел картинки и формулы от Николая Дерюгина

Картинки, насколько я понимаю, не столько от Николая, сколько из Википедии. А вот те, что приведены в обсуждении, мы с maple'ом сами рисовали

Цитата:

Именно то, чего хотелось! И сразу же возник вопрос для обсуждения.

Отлично! Значит, не зря дискутировали.

Цитата:

Я полагал, что Вася, Федя и Матрёна - это всё чешуя, художественное оформление задачи, а сама задача состоит в том, чтобы найти все выпуклые многогранники с 15 рёбрами и их объёмы. Поэтому я недоумеваю, за что Алексей Волошин получил свои баллы, ведь он прислал описание всего двух многогранников и даже не прислал наиболее интересного.

Олег, не кипятись! Докажи всем, что уж тебя-то (в отличие от этого упертого ведущего) можно переубедить
И порадуйся за ведущего, которому в кои-то веки удалось "купить" таких "зубров"

Цитата:

На мой взгляд, правильный ответ: "Возможны разные типы выпуклых многогранников с 15 единичными ребрами, все грани которых - правильные многогранники. У двух объем, заведомо больше объема любого из многогранников из ММ74, у двух -, наоборот, меньше, а для одного - посередине".

В задаче спрашивается "Кто прав?"
Чтобы показать, что Вася с Петей не правы, Федя прав, а Матрёна не виновата, достаточно найти объемы двух многогранников, которыми ограничился Алексей. В итоге получен и обоснован правильный ответ. И за него начислены те баллы, которые заявлены в задаче.
Поэтому с оценкой решения Алексея Волошина у меня вообще не было проблем. Повторяю, сложнее было оценивать решение Николая Дерюгина.

Теперь о нахождении всех многогранников.
В традициях и правилах Марафона (а ему по окончании текущего тура 10 лет стукнет!) поощрять ответы на те вопросы, которые в явном виде не сформулированы, но возникают в связи с задачей. И эти традиции соблюдены. Именно этими, дополнительными баллами и поощрены те, участники, которые нашли больше многогранников, чем Алексей, но (ну признай же!) неверно ответили на вопрос задачи.

Цитата:

У нас в этом туре ещё много интересных задач, но если правильным ответом будет считаться формальный ответ, то я пересмотрю своё решение ММ167 и не буду перечислять все варианты, оставлю только варианты с разными значениями k (жаль, таблице придётся сделать обрезание).

А вот это уже не в наших традициях! Не надо ничего обрезать!

Цитата:

А ММ170, вообще, умрёт, потому что, как мне до сих пор казалось, в ней главное найти не формальный ответ, а наиболее элегантный способ ручного решения. Ответ, как тебе известно, я знаю. Мне продолжать искать способ, или в Марафоне это теперь лишено смысла?

Насчет смысла не знаю! Вопрос - философский. Полагаю, очень многие, узнав, чем занимаются тут солидные с виду дяди, покрутят пальцем у виска. Но мы ведь - не они. Поэтому ищи! Найдешь - моральное и эстетическое удовлетворение, а ним и дополнительные баллы гарантированы. Но основные - только при правильном решении

Несколько марафонцев откликнулись (по партизански, в личной переписке) на вопросы, поднятые в нашей дискуссии. Общий смысл их ответов такой: их вполне устраивает ситуация, когда приводятся только наиболее оригинальные решения, но они не возражают, если их решения будут выкладываться на всеобщее обозрение, вне зависимости от оригинальности.
В общем, конформисты и соглашатели!

[Masik]

VAL в сообщении #629728 писал(а):

И порадуйся за ведущего, которому в кои-то веки удалось "купить" таких "зубров"

Совершенно искренне радуюсь. На мой взгляд, придумать, решить и проверить задачу, об которую потом "зубры" сломают зубы - это чудодейство, не иначе. Ну, про "зубров" не знаю, а меня тебе "купить" удалось. Я упустил из виду "Tridiminished icosahedron", зато, в отличие от ведущего, заметил, что склеивание октаэдра и тетраэдра даёт не строго выпуклую фигуру

Цитата:

В задаче спрашивается "Кто прав?" Чтобы показать, что Вася с Петей не правы, Федя прав, а Матрёна не виновата, достаточно найти объемы двух многогранников, которыми ограничился Алексей. В итоге получен и обоснован правильный ответ. И за него начислены те баллы, которые заявлены в задаче.
Поэтому с оценкой решения Алексея Волошина у меня вообще не было проблем. Повторяю, сложнее было оценивать решение Николая Дерюгина.
Теперь о нахождении всех многогранников.
В традициях и правилах Марафона (а ему по окончании текущего тура 10 лет стукнет!) поощрять ответы на те вопросы, которые в явном виде не сформулированы, но возникают в связи с задачей. И эти традиции соблюдены. Именно этими, дополнительными баллами и поощрены те, участники, которые нашли больше многогранников, чем Алексей, но (ну признай же!) неверно ответили на вопрос задачи.

Не признаю. Многогранников, описанных в условии задачи, не существует, так что Алексей ответил АБСОЛЮТНО не верно.

Цитата:

Несколько марафонцев откликнулись (по партизански, в личной переписке) на вопросы, поднятые в нашей дискуссии. Общий смысл их ответов такой: их вполне устраивает ситуация, когда приводятся только наиболее оригинальные решения, но они не возражают, если их решения будут выкладываться на всеобщее обозрение, вне зависимости от оригинальности.
В общем, конформисты и соглашатели!

В общем, адекватные люди. Не стесняются своих решений, хотят видеть чужие интересные решения и не желают загружать свои мозги неинтересными.

[VAL]

Masik в сообщении #629755 писал(а):

Я упустил из виду "Tridiminished icosahedron", зато, в отличие от ведущего, заметил, что склеивание октаэдра и тетраэдра даёт не строго выпуклую фигуру

Я не заметил, что склеивание октаэдра и тетраэдра не дает нужного многогранника именно в силу того, что тоже упустил из виду этот... не знаю как сказать по-русски... триусеченный икосаэдр, что ли?
Я знал, что существует список джонсоновых тел. Но решил сначала построить все подходящие многогранники самостоятельно. Их получилось 5. И уже затем для проверки заглянул в список джонсоновых тел. Но при этом куда-то спешил. И, убедившись, что там ровно 4 многогранника с 15-ю ребрами (плюс пятиугольная призма), успокоился, не заметив, что один из многогранников - не тот, что у меня. И только когда Виктор Филимоненков (он сделал это чуть раньше, чем ты) написал, что октаэдр+тетраэдр не подходит, проверил уже по сопоставлением количеств, а сопоставлением многогранников.

Цитата:

Цитата:

В задаче спрашивается "Кто прав?" Чтобы показать, что Вася с Петей не правы, Федя прав, а Матрёна не виновата, достаточно найти объемы двух многогранников, которыми ограничился Алексей. В итоге получен и обоснован правильный ответ. И за него начислены те баллы, которые заявлены в задаче.
[...]
те, участники, которые нашли больше многогранников, чем Алексей, но (ну признай же!) неверно ответили на вопрос задачи.

Не признаю. Многогранников, описанных в условии задачи, не существует, так что Алексей ответил АБСОЛЮТНО не верно.

Ладно - 1:1
Но, во-первых, я различаю формализм и буквоедство. Конечно, зацепиться за случайную описку я всегда готов. Но зацепиться - одно, а снимать баллы - другое.
А во-вторых, даже если допустить (с чем я категорически не согласен), что решение Алексея не годится, каким образом это обстоятельство делает верными те решения, в которых Федя оказался прав?

[Masik]

VAL в сообщении #629841 писал(а):

Я знал, что существует список джонсоновых тел. Но решил сначала построить все подходящие многогранники самостоятельно.

Я тоже знал, что существует список джонсоновых тел. Но гуглить я умею плохо, списка не нашёл, поэтому решил построить все подходящие многогранники самостоятельно.

Цитата:

Но, во-первых, я различаю формализм и буквоедство. Конечно, зацепиться за случайную описку я всегда готов. Но зацепиться - одно, а снимать баллы - другое.

Ну, так и не снимай баллы за верные решения. Признай, что все, кто ответил, что Федя не прав, дали верные решения. При этом, одни нашли больше многогранников, а другие - меньше.

Цитата:

А во-вторых, даже если допустить (с чем я категорически не согласен), что решение Алексея не годится, каким образом это обстоятельство делает верными те решения, в которых Федя оказался прав?

Я не говорил, что решение Алексея не годится, я говорил, что он привёл всего два многогранника, другие привели больше. Никоим образом это обстоятельство не делает верными те решения, в которых Федя оказался прав, в том числе, и решение Николая Дерюгина, но он привёл ПОЛНЫЙ список многогранников, пусть даже и допустил арифметическую ошибку, которая ни на что не влияет.
Конечно, можно закрыть глаза на твою случайную описку и считать решения, в которых Федя прав, тоже верными, но это никак не должно ущемлять интересы тех участников, которые правильно ответили, что Федя не прав.
Ты построил логическую ловушку, но опечатался. Ловушка оказалась неработоспособной, но ты пытаешься внушить сам себе иллюзию, что всё идёт по плану, работают даже бракованные изделия.
Кстати, твоя ловушка мне абсолютно не понравилась. Если б она сработала, у меня бы остался неприятный осадок от задачи. Собственно, он уже остался.

[VAL]

Masik в сообщении #630190 писал(а):

Я тоже знал, что существует список джонсоновых тел. Но гуглить я умею плохо, списка не нашёл

Да там и гуглить особо не надо. Список есть в англоязычной википедии.
Кстати, если все же погуглить... В последнее время я все чаще натыкаюсь на темы (термины, теоремы, гипотезы), по которым на русском в инете ничего не сыщешь, а на английском - масса ресурсов.
Так, на "джонсоновы многогранники" открывается всего одна ссылка, а на "Johnson solid" - 56700.

Цитата:

Цитата:

Кстати, твоя ловушка мне абсолютно не понравилась. Если б она сработала, у меня бы остался неприятный осадок от задачи. Собственно, он уже остался.

Но хоть ложечки-то нашлись?

По существу продолжать этот спор не буду.
Во-первых, чтобы не зациклиться.
Во-вторых, в правилах Марафона имеется подходящий пункт: "Субъективизм в оценивании является неизбежным злом"
А в-третьих, всякий раз, пытаясь оправдаться за предыдущие описки, оговорки, очепятки, я совершаю новые, что не способствует сходимости процесса

[VAL]

========= 166 ==========

ММ166 (3 балла)

Для каждого из натуральных чисел от 1 до 10000000000 находят знакочередующуюся сумму всех натуральных делителей, упорядоченных по возрастанию (делитель 1 берется со знаком минус).
Сколько отрицательных и сколько нечетных чисел при этом получится?

Решение

Очевидно, что знакочередующаяся сумма, в которой каждое следующее слагаемое по абсолютной величине больше предыдущего, меняет знак при добавлении каждого следующего слагаемого. Чтобы итоговая сумма была отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы число натуральных делителей исходного числа было нечетным. А это, в свою очередь, равносильно тому, что исходное число является полным квадратом.
Поэтому имеется ровно 100000 чисел, для которых интересующая нас сумма отрицательна.
Однако простой пример - $-1+7-49=-43=-1+2-4+8-16+32-64$ (и пара свежих задач про "похожие числа") показывает, что разные квадраты могут давать одни и те же суммы.
Но сто тысяч - это не десять миллиардов. Такое количество уже вполне посильно для компьютерного перебора. Такой перебор показывает, что 100000 квадратов дадут ровно $98506$ сумм.

Очевидно, что четность знакочередующейся суммы натуральных делителей числа $n$ равносильна четности $\sigma(n)$, т. е. просто суммы натуральных делителей числа $n$.
Пусть $n=2^sp_1^{s_1}\dots p_k^{s_k}$ - каноническое разложение числа $n$. Нечетность интересующей нас суммы равносильна нечетности всех сомножителей в произведении $(2^s+2^{s-1}+\dots+2+1)(p_1^{s_1}+p_1^{s_1-1}+\dots+p_1+1)\dots(p_k^{s_k}+p_k^{s_k-1}+\dots+p_k+1)$. Первый сомножитель нечетен всегда, а остальные - только при четности всех показателей $s_i$.
Поэтому интересующая нас сумма будет нечетной будет тогда и только тогда, когда $n$ - квадрат (при четных $s$) или удвоенный квадрат (при нечетных $s$).
Количество сумм для первого случая уже посчитано. Остается проверить сколько сумм дают $\lfloor\sqrt{\frac{10^{10}}2}\rfloor=70710$ удвоенных квадратов.
Их оказывается ровно $70709$ (интересующие нас суммы совпадают только для чисел $2\cdot765^2$ и $2\cdot835^2$).
Итого, имеется $98506+70709=169215$ нечетных сумм.

Обсуждение

Задача вновь оказалась коварной. Хотя, в отличие от ММ165, я никого "ловить" и "покупать" не собирался. Но, по-видимому, на уровне подсознания сделал это.
Я полагал, что условие сформулировано вполне однозначно, но... пятеро из шести человек, решавших ММ166, искали количества чисел, дающих отрицательные и нечетные суммы, а не количество таких сумм. Получается, когда я забываю упомянуть что-то в условии (см. разбор ММ164), это не мешает участникам включить телепатию и понять, что я имел в виду. А когда недомолвок нет... все гораздо сложнее
Если исключить сговор (а я не сторонник теории мирового заговора), придется признать, нечеткость условия.
Поэтому я решил не считать ошибочными решения с ответами 100000 и 170710, а наоборот поощрить единственного участника, не утратившего "астральной связи" с ведущим.
Удивительно, что и у этого участника (Анатолия Казмерчука) ответ не совпал с моим. Почему это удивительно? Дело в том, что Анатолий прислал maple-код, с помощью которого считал свой ответ. Не найдя ошибок, я запустил программку Анатолия на исполнение и получил такой же ответ как... у меня. С учетом похожей ситуации с задачей ММ165 следует признать такую картину традицией :)

Еще одной неожиданностью для меня стал тяжеловесный, громоздкий подсчет числа удвоенных квадратов, осуществленный (одним бы - ладно) половиной (!) участников.

Сначала я начинал знакочередующиеся суммы делителей с 1, но затем решил хоть чуть-чуть спрятаться от A071323 из OEIS.

Любопытно, что знакочередующиеся суммы для квадратов повторяются довольно часто, а для удвоенных квадратов нашелся всего один повтор.

Награды

За решение задачи ММ166 Анатолий Казмерчук получает 4 призовых балла, а Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Сергей Половинкин, Алексей Волошин и Николай Дерюгин по 3 призовых балла.

Эстетическая оценка 4.1 балла