Итак, для доказательства отсутствия решений в целых числах (кроме тривиальных) равенства разностей соседних кубов и соседних пятых степеней, попытаемся доказать, что «эквивалентное» выражение
(1)

, где
(2)
не имеет решений в целых числах.
Объясню, почему «эквивалентное» в кавычках. Естественно, потому что в прямом смысле это не исходное выражение, а только некая его логическая часть, которая обязана выполняться при выполнении исходного выражения.
А также, забегая вперед, объясню, почему «попытаемся доказать» – оказывается решения есть, но это как ни странно, наоборот, поможет в доказательстве отсутствия решений исходного уравнения.
После нехитрых преобразований приходим к:
(3)

Используя (2), запишем:
(4)

Делим обе части на 6 (а они должны делиться в силу очевидных причин):
(5)

… и замечаем, что в левой части (5) – треугольное число, в правой – тетраэдрическое.
В «Википедии» (статья «Тетраэдрические числа») читаем, что существует всего пять треугольных чисел равных тетраэдрическим.
То есть, вообще-то решения есть.
Однако, одновременно с исходным уравнением удовлетворяет только одно – тривиальное – 1…
Вот так, с помощью свойств фигурных чисел, элементарных рассуждений и «Вики» получено доказательство исходного предположения.