обруч

[Oleg Zubelevich]

Однородный обруч радиуса $r$ массы $M$, на который намотана невесомая нить с точечной массой $m$ на конце (конец нити с грузиком $m$ свисает вертикально с обруча), поставлен на шероховатую (коэффициент сухого трения $k$) горизонтальную прямую (плоская задача). Обруч отпускают. Каково необходимое и достаточное условие на параметры задачи , что бы обруч покатился без проскальзывания? Дело происходит в поле силы тяжести.

[dovlato]

Если речь о стационарном случае, то, скорее всего, это можно решить даже школьными средствами:
нить спускается с постоянным углом наклона - вот этот угол и надо определить.
Ну, а нестационарный случай, когда она ещё и покачивается - не очень интересен в силу нерешаемости (аналитически).

[Oleg Zubelevich]

а что такое "стационарный случай"?

[dovlato]

По-моему, я где-то это встречал.. Или сам придумывал)).
В общем, диск катится без проскальзывания, с него при этом сматывается нить с грузом, причём угол её отклонения от вертикали остаётся постоянным (заранее неизвестным). При этом сила натяжения нити, и все ускорения - диска, нити, груза - также остаются постоянными во времени.

[Oleg Zubelevich]

Уточню. Надо узнать, начнет ли проскальзывать обруч сразу после того, как систему отпустили, в первый момент движения. Никакие дополнительные предположения, вроде тех , что Вы перечислили, для этого не нужны. А возможно ли движение про которое Вы пишите -- это отдельная тема. Надо выписать уравнения и проверить.

[dovlato]

Это в принципе решается без особого труда. Фактически диск испытывает действие вертикальной силы натяжение нити. Это натяжение вместе с искомым ускорением образуют систему 2х линейных уравнений, откуда они и решаются. Я не стал сюда переносить всё это рукоделие - тут никаких неожиданностей не возникает. Но, повторю, это будет решением только для начального момента.
Думается, что наибольшая сила, стремящаяся провернуть это колесо, будет несколько позже, когда нить отклонится от вертикали в обратную сторону (относительно движения катящегося диска). Но вряд ли это можно рассчитать без решения нелинейного ДУ.

[Oleg Zubelevich]

Я не понял Вашу идею, задача , конечно, не сложная, но и не совсем банальная.

[dovlato]

А у меня нет никакой идеи). Пишем энергию системы

$$E=\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)V^2/2+mgy=\operatorname{const}$$

Её дифференциал равен нулю

$$\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)VdV-mgVdt=0$$

Отсюда ускорение

$$a=dV/dt=\frac{mg}{M+m+\frac{J}{R^2}}$$

Сила натяжения нити

$$f=\frac{mg}{1+\frac{m}{M+\frac{J}{R^2}}}$$

Ну и дальше остаётся написать граничное равенство ($k$-коэфф. тения)

$$(M+f)k=Ma$$

Если левая часть окажется больше, то проскальзывания нет. И наоборот.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #627320 писал(а):

я)

$$(M+f)k=Ma$$

сила+масса

-- Пт окт 05, 2012 20:49:39 --

давайте я Вам сразу правильный ответ сообщу:

$$\frac{m}{2M+3m}\le k$$

[dovlato]

Ну, вполне возможно, если в моё равенство подставить $J=MR^2/2$, то ответ именно такой и получится.
То есть тут никаких неожиданностей не возникает.

[Oleg Zubelevich]

У обруча $J=MR^2$ как я помню. Исправьте у себя опечатку, хочется всеже понять , получится у Вас правильный ответ или нет

-- Пт окт 05, 2012 21:21:55 --

dovlato в сообщении #627356 писал(а):

То есть тут никаких неожиданностей не возникает.

я так не думаю

[dovlato]

Да, конечно, 1. Тогда как 1/2 - у однородного диска. Подставил - сошлось с Вашим результатом.
Правда.. я редко сразу объявляю полученный мной результат "верным"). Только где-то после 2-3го раза начинаю ему верить. В скобке я, конечно, извиняюсь, пропустил g: $(Mg+f)$.
Но я не понял - а в чём тут неожиданность? Cамому главному требованию формула удовлетворяет: с самого начала было ясно, что должно быть $k=k(m/M)$; по существу, оставалось уточнить числовые коэффициенты.
Предварительный результат у меня такой:

$$\frac{1}{k}<1+\left(1+\frac{M}{m}\right)\left(1+\frac{J}{MR^2}\right) $$

Последнее дробное слагаемое во 2й скобке от М не зависит; это - функционал только от формы тела.
Любопытно, что получается конечный результат и при $J=0; k\to\frac{1}{2+\frac{M}{m}}.$

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #627400 писал(а):

Но я не понял - а в чём тут неожиданность?

То формальное решение, которое мне известно, содержит нюансы.

Что касается Вашего решения:

dovlato в сообщении #627320 писал(а):

ы

$$E=\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)V^2/2+mgy=\operatorname{const}$$

1) мне непонятно почему в этой формуле учтена скорость груза только в его движении вниз, когда система движется еще и в бок
2) в любом случае закон сохранения энергии Вы записали для одного единственного момента времени $t=0$, в общем случае он будет выглядеть гораздо сложнее. Но тогда непонятно как эту формулу , верную только при $t=0$, можно дифференцировать по времени:

dovlato в сообщении #627320 писал(а):

$$\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)VdV-mgVdt=0$$

[dovlato]

Тут элемент нахальства есть, конечно. Привходящие соображения были такие: перейдём в сист.отсчёта, скорость которой такая же, как у обруча вначал. момент времени. Тогда за счёт возможного движения по горизонтали к выражению для энергии следует прибавить слагаемое с квадратом относ. скорости груза. Который после дифференцирования и подстановки нулевой относ. скорости всё равно исчезнет.
На самом деле я об этом подумал ещё в начале трудов. А именно, если бы груз не свободно свисал, а был бы приклеен к самому обручу - вот тогда всё пришлось бы всё честно выписвать.

[Oleg Zubelevich]

Ну вот это и есть ответ на Ваш вопрос про неожиданности: честное решение требует немалой аккуратности