2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 обруч
Сообщение04.10.2012, 20:28 


10/02/11
6786
Однородный обруч радиуса $r$ массы $M$, на который намотана невесомая нить с точечной массой $m$ на конце (конец нити с грузиком $m$ свисает вертикально с обруча), поставлен на шероховатую (коэффициент сухого трения $k$) горизонтальную прямую (плоская задача). Обруч отпускают. Каково необходимое и достаточное условие на параметры задачи , что бы обруч покатился без проскальзывания? Дело происходит в поле силы тяжести.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 20:39 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Если речь о стационарном случае, то, скорее всего, это можно решить даже школьными средствами:
нить спускается с постоянным углом наклона - вот этот угол и надо определить.
Ну, а нестационарный случай, когда она ещё и покачивается - не очень интересен в силу нерешаемости (аналитически).

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 21:29 


10/02/11
6786
а что такое "стационарный случай"?

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 22:42 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
По-моему, я где-то это встречал.. Или сам придумывал)).
В общем, диск катится без проскальзывания, с него при этом сматывается нить с грузом, причём угол её отклонения от вертикали остаётся постоянным (заранее неизвестным). При этом сила натяжения нити, и все ускорения - диска, нити, груза - также остаются постоянными во времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 23:40 


10/02/11
6786
Уточню. Надо узнать, начнет ли проскальзывать обруч сразу после того, как систему отпустили, в первый момент движения. Никакие дополнительные предположения, вроде тех , что Вы перечислили, для этого не нужны. А возможно ли движение про которое Вы пишите -- это отдельная тема. Надо выписать уравнения и проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 19:02 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Это в принципе решается без особого труда. Фактически диск испытывает действие вертикальной силы натяжение нити. Это натяжение вместе с искомым ускорением образуют систему 2х линейных уравнений, откуда они и решаются. Я не стал сюда переносить всё это рукоделие - тут никаких неожиданностей не возникает. Но, повторю, это будет решением только для начального момента.
Думается, что наибольшая сила, стремящаяся провернуть это колесо, будет несколько позже, когда нить отклонится от вертикали в обратную сторону (относительно движения катящегося диска). Но вряд ли это можно рассчитать без решения нелинейного ДУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 19:18 


10/02/11
6786
Я не понял Вашу идею, задача , конечно, не сложная, но и не совсем банальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 20:07 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
А у меня нет никакой идеи). Пишем энергию системы
$$E=\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)V^2/2+mgy=\operatorname{const}$$
Её дифференциал равен нулю $$\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)VdV-mgVdt=0$$
Отсюда ускорение
$$a=dV/dt=\frac{mg}{M+m+\frac{J}{R^2}}$$
Сила натяжения нити
$$f=\frac{mg}{1+\frac{m}{M+\frac{J}{R^2}}}$$
Ну и дальше остаётся написать граничное равенство ($k$-коэфф. тения)
$$(M+f)k=Ma$$
Если левая часть окажется больше, то проскальзывания нет. И наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 20:42 


10/02/11
6786
dovlato в сообщении #627320 писал(а):
я)
$$(M+f)k=Ma$$


сила+масса

-- Пт окт 05, 2012 20:49:39 --

давайте я Вам сразу правильный ответ сообщу:
$$\frac{m}{2M+3m}\le k$$

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 21:15 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ну, вполне возможно, если в моё равенство подставить $J=MR^2/2$, то ответ именно такой и получится.
То есть тут никаких неожиданностей не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 21:17 


10/02/11
6786
У обруча $J=MR^2$ как я помню. Исправьте у себя опечатку, хочется всеже понять , получится у Вас правильный ответ или нет

-- Пт окт 05, 2012 21:21:55 --

dovlato в сообщении #627356 писал(а):
То есть тут никаких неожиданностей не возникает.


я так не думаю

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 22:32 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, конечно, 1. Тогда как 1/2 - у однородного диска. Подставил - сошлось с Вашим результатом.
Правда.. я редко сразу объявляю полученный мной результат "верным"). Только где-то после 2-3го раза начинаю ему верить. В скобке я, конечно, извиняюсь, пропустил g: $(Mg+f)$.
Но я не понял - а в чём тут неожиданность? Cамому главному требованию формула удовлетворяет: с самого начала было ясно, что должно быть $k=k(m/M)$; по существу, оставалось уточнить числовые коэффициенты.
Предварительный результат у меня такой:
$$\frac{1}{k}<1+\left(1+\frac{M}{m}\right)\left(1+\frac{J}{MR^2}\right) $$
Последнее дробное слагаемое во 2й скобке от М не зависит; это - функционал только от формы тела.
Любопытно, что получается конечный результат и при $J=0; k\to\frac{1}{2+\frac{M}{m}}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 23:58 


10/02/11
6786
dovlato в сообщении #627400 писал(а):
Но я не понял - а в чём тут неожиданность?

То формальное решение, которое мне известно, содержит нюансы.

Что касается Вашего решения:
dovlato в сообщении #627320 писал(а):
ы
$$E=\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)V^2/2+mgy=\operatorname{const}$$

1) мне непонятно почему в этой формуле учтена скорость груза только в его движении вниз, когда система движется еще и в бок
2) в любом случае закон сохранения энергии Вы записали для одного единственного момента времени $t=0$, в общем случае он будет выглядеть гораздо сложнее. Но тогда непонятно как эту формулу , верную только при $t=0$, можно дифференцировать по времени:
dovlato в сообщении #627320 писал(а):
$$\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)VdV-mgVdt=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение06.10.2012, 08:05 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Тут элемент нахальства есть, конечно. Привходящие соображения были такие: перейдём в сист.отсчёта, скорость которой такая же, как у обруча вначал. момент времени. Тогда за счёт возможного движения по горизонтали к выражению для энергии следует прибавить слагаемое с квадратом относ. скорости груза. Который после дифференцирования и подстановки нулевой относ. скорости всё равно исчезнет.
На самом деле я об этом подумал ещё в начале трудов. А именно, если бы груз не свободно свисал, а был бы приклеен к самому обручу - вот тогда всё пришлось бы всё честно выписвать.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч
Сообщение06.10.2012, 10:47 


10/02/11
6786
Ну вот это и есть ответ на Ваш вопрос про неожиданности: честное решение требует немалой аккуратности

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group