2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 обруч
Сообщение04.10.2012, 20:28 
Однородный обруч радиуса $r$ массы $M$, на который намотана невесомая нить с точечной массой $m$ на конце (конец нити с грузиком $m$ свисает вертикально с обруча), поставлен на шероховатую (коэффициент сухого трения $k$) горизонтальную прямую (плоская задача). Обруч отпускают. Каково необходимое и достаточное условие на параметры задачи , что бы обруч покатился без проскальзывания? Дело происходит в поле силы тяжести.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 20:39 
Если речь о стационарном случае, то, скорее всего, это можно решить даже школьными средствами:
нить спускается с постоянным углом наклона - вот этот угол и надо определить.
Ну, а нестационарный случай, когда она ещё и покачивается - не очень интересен в силу нерешаемости (аналитически).

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 21:29 
а что такое "стационарный случай"?

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 22:42 
По-моему, я где-то это встречал.. Или сам придумывал)).
В общем, диск катится без проскальзывания, с него при этом сматывается нить с грузом, причём угол её отклонения от вертикали остаётся постоянным (заранее неизвестным). При этом сила натяжения нити, и все ускорения - диска, нити, груза - также остаются постоянными во времени.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение04.10.2012, 23:40 
Уточню. Надо узнать, начнет ли проскальзывать обруч сразу после того, как систему отпустили, в первый момент движения. Никакие дополнительные предположения, вроде тех , что Вы перечислили, для этого не нужны. А возможно ли движение про которое Вы пишите -- это отдельная тема. Надо выписать уравнения и проверить.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 19:02 
Это в принципе решается без особого труда. Фактически диск испытывает действие вертикальной силы натяжение нити. Это натяжение вместе с искомым ускорением образуют систему 2х линейных уравнений, откуда они и решаются. Я не стал сюда переносить всё это рукоделие - тут никаких неожиданностей не возникает. Но, повторю, это будет решением только для начального момента.
Думается, что наибольшая сила, стремящаяся провернуть это колесо, будет несколько позже, когда нить отклонится от вертикали в обратную сторону (относительно движения катящегося диска). Но вряд ли это можно рассчитать без решения нелинейного ДУ.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 19:18 
Я не понял Вашу идею, задача , конечно, не сложная, но и не совсем банальная.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 20:07 
А у меня нет никакой идеи). Пишем энергию системы
$$E=\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)V^2/2+mgy=\operatorname{const}$$
Её дифференциал равен нулю $$\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)VdV-mgVdt=0$$
Отсюда ускорение
$$a=dV/dt=\frac{mg}{M+m+\frac{J}{R^2}}$$
Сила натяжения нити
$$f=\frac{mg}{1+\frac{m}{M+\frac{J}{R^2}}}$$
Ну и дальше остаётся написать граничное равенство ($k$-коэфф. тения)
$$(M+f)k=Ma$$
Если левая часть окажется больше, то проскальзывания нет. И наоборот.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 20:42 
dovlato в сообщении #627320 писал(а):
я)
$$(M+f)k=Ma$$


сила+масса

-- Пт окт 05, 2012 20:49:39 --

давайте я Вам сразу правильный ответ сообщу:
$$\frac{m}{2M+3m}\le k$$

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 21:15 
Ну, вполне возможно, если в моё равенство подставить $J=MR^2/2$, то ответ именно такой и получится.
То есть тут никаких неожиданностей не возникает.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 21:17 
У обруча $J=MR^2$ как я помню. Исправьте у себя опечатку, хочется всеже понять , получится у Вас правильный ответ или нет

-- Пт окт 05, 2012 21:21:55 --

dovlato в сообщении #627356 писал(а):
То есть тут никаких неожиданностей не возникает.


я так не думаю

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 22:32 
Да, конечно, 1. Тогда как 1/2 - у однородного диска. Подставил - сошлось с Вашим результатом.
Правда.. я редко сразу объявляю полученный мной результат "верным"). Только где-то после 2-3го раза начинаю ему верить. В скобке я, конечно, извиняюсь, пропустил g: $(Mg+f)$.
Но я не понял - а в чём тут неожиданность? Cамому главному требованию формула удовлетворяет: с самого начала было ясно, что должно быть $k=k(m/M)$; по существу, оставалось уточнить числовые коэффициенты.
Предварительный результат у меня такой:
$$\frac{1}{k}<1+\left(1+\frac{M}{m}\right)\left(1+\frac{J}{MR^2}\right) $$
Последнее дробное слагаемое во 2й скобке от М не зависит; это - функционал только от формы тела.
Любопытно, что получается конечный результат и при $J=0; k\to\frac{1}{2+\frac{M}{m}}.$

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение05.10.2012, 23:58 
dovlato в сообщении #627400 писал(а):
Но я не понял - а в чём тут неожиданность?

То формальное решение, которое мне известно, содержит нюансы.

Что касается Вашего решения:
dovlato в сообщении #627320 писал(а):
ы
$$E=\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)V^2/2+mgy=\operatorname{const}$$

1) мне непонятно почему в этой формуле учтена скорость груза только в его движении вниз, когда система движется еще и в бок
2) в любом случае закон сохранения энергии Вы записали для одного единственного момента времени $t=0$, в общем случае он будет выглядеть гораздо сложнее. Но тогда непонятно как эту формулу , верную только при $t=0$, можно дифференцировать по времени:
dovlato в сообщении #627320 писал(а):
$$\left(M+m+\frac{J}{R^2}\right)VdV-mgVdt=0$$

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение06.10.2012, 08:05 
Тут элемент нахальства есть, конечно. Привходящие соображения были такие: перейдём в сист.отсчёта, скорость которой такая же, как у обруча вначал. момент времени. Тогда за счёт возможного движения по горизонтали к выражению для энергии следует прибавить слагаемое с квадратом относ. скорости груза. Который после дифференцирования и подстановки нулевой относ. скорости всё равно исчезнет.
На самом деле я об этом подумал ещё в начале трудов. А именно, если бы груз не свободно свисал, а был бы приклеен к самому обручу - вот тогда всё пришлось бы всё честно выписвать.

 
 
 
 Re: обруч
Сообщение06.10.2012, 10:47 
Ну вот это и есть ответ на Ваш вопрос про неожиданности: честное решение требует немалой аккуратности

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group