Нетривиальный автоморфизм

[Joker_vD]

Все, сел разбираться и вспомнил, в чем тут прикол: $\overline{\mathbb Q}$ — это предел $\mathbb Q, \mathbb Q(\alpha), \mathbb Q(\alpha,\beta), \dots$, где $\alpha,\beta,\dots$ — алгебраические над $\mathbb Q$. Каждый такой шаг увеличивает число автоморфизмов в несколько раз.

С расширением $\mathbb Q$ до $\mathbb C$ все еще веселее, так как трансцендентные элементы могут тасоваться очень причудливо — а их очень, очень много.

[apriv]

Joker_vD в сообщении #627253 писал(а):

С расширением $\mathbb Q$ до $\mathbb C$ все еще веселее, так как трансцендентные элементы могут тасоваться очень причудливо — а их очень, очень много.

Про расширения так просто говорить не получается — например, автоморфизмов $\mathbb R$ над $\mathbb Q$ не так уж и много — всего одна штука.

[Joker_vD]

apriv
Это да: $\mathrm{id}_\mathbb{Q}$ отношение порядка сохраняет, так что для чудес нужно что-то вещественное отобразить во что-то комплексное — иначе сечения любое вещественное число зажмут до полной неподвижности, и выйдет $\mathrm{id}_\mathbb{R}$.

[Профессор Снэйп]

apriv в сообщении #627278 писал(а):

Про расширения так просто говорить не получается...

Угу, надо вспоминать, что $\mathbb{C}$ алгебраически замкнуто.

[apriv]

Ну и, кстати, автоморфизмы пересечения $\overline{\mathbb Q}\cap\mathbb R$ тривиальны, поэтому рассуждение про последовательность

Joker_vD в сообщении #627253 писал(а):

$\mathbb Q, \mathbb Q(\alpha), \mathbb Q(\alpha,\beta), \dots$, где $\alpha,\beta,\dots$ — алгебраические над $\mathbb Q$

тоже обманчиво.

[Joker_vD]

А причем тут $\overline{\mathbb Q}\cap\mathbb R$?

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #627331 писал(а):

А причем тут $\overline{\mathbb Q}\cap\mathbb R$?

У этого поля полно подполей с кучей автоморфизмов, а у самого только тривиальный.

[apriv]

Joker_vD в сообщении #627331 писал(а):

А причем тут $\overline{\mathbb Q}\cap\mathbb R$?

Ну, это поле в каком-то смысле тоже получается цепочкой $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\alpha)\subset\mathbb Q(\alpha,\beta)\subset\dots$ добавлений алгебраических элементов с нетривиальными автоморфизмами по дороге.